"감마 분포"의 두 판 사이의 차이

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'''감마 분포'''는 [[연속확률분포연속 확률분포]]로, 하나이다.개의 특히매개변수를 [[매개변수]]받으며 <math>k</math>가양의 정수인실수를 경우를가질 [[얼랑분포]]라 한다있다.
 
감마 분포는 [[지수 분포]]나 [[푸아송 분포]] 등의 매개변수에 대한 [[켤레 사전 확률]] 분포이며, 이에 따라 [[베이지안 확률론]]에서 [[사전 확률]] 분포로 사용된다.
 
[[매개변수]] <math>k</math>가 정수인 경우 감마 분포는 [[얼랑 분포]]가 된다.
 
== 확률 밀도 함수 ==
:<math> f(x;k,\theta) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}
\ \mathrm{for}\ x > 0 \,\!</math>
여기서 <math>k (> 0)</math>는 모양 매개변수이고, <math> \theta (> 0)</math>는 크기 매개변수이다.
 
== 성질 ==
 
만약 확률변수 <math>X_1, \cdots, X_n</math>가 독립이며 각각 <math>X_i \sim \mathrm{Gamma}(k_i, \theta)</math>의 분포를 가진다면, 확률변수들의 합은 다음과 같은 분포를 따른다.
:<math>\sum_i X_i \sim \mathrm{Gamma}(\sum_i k_i, \theta)</math>
 
<math>X \sim \mathrm{Gamma}(k, \theta)</math>인 확률변수 <math>X</math>에 상수를 곱한 경우는 크기 매개변수에 영향을 준다.
:<math>cX \sim \mathrm{Gamma}(k, c \theta)</math>
 
=== 다른 분포와의 관계 ===
* 모양 매개변수 <math>k</math>가 정수인 경우 [[얼랑 분포]]에 포함된다.
* <math>k = 1, \theta = 1/\lambda</math>는 [[지수 분포]]가 된다.
* <math>k = \nu/2, \theta = 2</math>는 [[카이제곱 분포]]가 된다. 이 때 자유도는 <math>\nu</math>이다.
 
=== 켤레 사전 확률 ===
 
감마 분포는 [[푸아송 분포]], [[지수 분포]], [[정규 분포]](평균을 알고 있을 경우), [[파레토 분포]], 감마 분포(모양 매개변수를 알 경우)와 [[역감마 분포]](모양 매개변수를 알 경우) 등의 분포와 [[켤레 사전 확률]] 분포를 이룬다.
 
<!--
A Compendium of Conjugate Priors, Daniel Fink, 1997
 
감마 분포 <math>X \sim \mathrm{Gamma}(k, \theta)</math>와 켤레 사전 확률 분포를 이루는 분포는 네 개의 매개변수를 가지며, 다음과 같은 식을 갖는다.
:<math>p(k,\theta | p, q, r, s) = \frac{1}{Z} \frac{p^{k-1} e^{-\theta^{-1} q}}{\Gamma(k)^r \theta^{k s}}</math>
여기에서 <math>Z</math>는 정규화 상수이다.
 
만약 감마 분포 <math>X</math>에서 <math>n</math>개의 관측 <math>x_1, \cdots, x_n \sim X</math>을 얻었다면, 그에 대응하는 <math>p, q, r, s</math>는 다음과 같이 갱신된다.
{{토막글|확률론}}
:<math>p' = p \cdot \prod_i x_i</math>
:<math>q' = q + \sum_i x_i</math>
:<math>r' = r + n</math>
:<math>s' = s + n</math>
-->
 
[[분류:연속분포]]

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