마르코프 부등식: 두 판 사이의 차이

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[[확률론]]에서 '''마르코프 부등식'''은 [[확률 변수]]의 [[함수 (수학)|함수]]가 어떤 양수 [[수학 상수|상수]] 이상일 [[확률]]에 대한 [[상계]]를 제시한다제시하는 부등식이다. 단, 이 함수는 음이 아니어야 한다. 마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 [[안드레이 마르코프]]의 이름에서 따온 것이다. (그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 [[파프누티 체비쇼프]]가 먼저 발견하였다)
 
마르코프 부등식은 확률을다른 비슷한 부등식들과 함께 확률과 [[기대값]] 연관짓고관계를 설명하고, 느슨하기는 하지만 확률 변수의 [[누적 분포 함수]]에 대한대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다. (이는 다른 비슷한 부등식의 특징이기도 하다.)
 
== 설명 ==
 
[[측도 이론]] 언어로관점에서 보면 마르코프 부등식은 이런 뜻이다. (''X'',Σ,μ)가 [[측도 공간]]이고 ''f''는 [[가측 함수|잴 수 있는]] [[확장된 실수]]값 함수이고 ''t'' > 0이면,
:<math> \mu(\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\}) \leq {1\over t}\int_X |f|\,d\mu.</math>
특별한 경우로특히, 측도가 1인 공간(확률 공간)에서는 이렇게 말할 수 있다.
''X''가 확률 변수이고 ''a'' > 0일 때
:<math>\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.</math>
 
== 증명 ==
측도 공간이 확률 공간인 경우를경우가 따로간단하고 증명한다.이해하기 일반적인쉬우므로 증명에서먼저 설명한다. 경우만 떼어낸 것은 일반 독자가 읽기 쉽도록 하기 위해서이다.
 
=== 특수한 경우: 확률론확률론을 이용한 증명 ===
어떤 사건 ''E''에 대해서, ''I''<sub>''E''</sub>를 ''E''의 정의 확률 변수라 하자. 즉, ''E''가 일어나면 ''I''<sub>''E''</sub> =&nbsp;1이고 일어나지 않으면 ''I''<sub>''E''</sub> =&nbsp;0이다. 따라서
사건 |''X''|&nbsp;&ge;&nbsp;''a''가 일어나면
''I''<sub>(|''X''|&nbsp;&ge;&nbsp;''a'')</sub>&nbsp;=&nbsp;0이다. 그러면 ''a'' > 0인 ''a''가 주어질 때,
 
:<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|.\,</math>
 
이고,
 
:<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|).\,</math>
 
이며 부등식 왼쪽이 아래 식과 같으므로
 
:<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a).\,</math>
 
이고, 다음 식을 얻는다.
 
:<math>a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|)\,.</math>
 
그리고 ''a'' > 0이므로, 양변을 ''a''로 나눌 수 있다.
 
=== 일반적인 경우: 측도 이론이론을 이용한 증명 ===
 
가측 집합 ''A''에 대해서 1<sub>''A''</sub>를 ''A''의 [[정의 함수]]라 하자. 다시 말해서 ''x'' &isin; ''A''일 때 1<sub>''A''</sub>(''x'') = 1이고, 다른 경우에는 0이다.