마르코프 부등식: 두 판 사이의 차이

[[확률론]]에서 '''마르코프 부등식'''은 [[확률 변수]]의 [[함수 (수학)|함수]]가 어떤 양수 [[수학 상수|상수]] 이상일 [[확률]]에 대한 [[상계]]를 제시한다제시하는 부등식이다. 단, 이 함수는 음이 아니어야 한다. 마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 [[안드레이 마르코프]]의 이름에서 따온 것이다. (그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 [[파프누티 체비쇼프]]가 먼저 발견하였다)

마르코프 부등식은 확률을다른 비슷한 부등식들과 함께 확률과 [[기대값]]과의 연관짓고관계를 설명하고, 느슨하기는 하지만 확률 변수의 [[누적 분포 함수]]에 대한대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다. (이는 다른 비슷한 부등식의 특징이기도 하다.)

[[측도 이론]]의 언어로관점에서 보면 마르코프 부등식은 이런 뜻이다. (''X'',Σ,μ)가 [[측도 공간]]이고 ''f''는 [[가측 함수|잴 수 있는]] [[확장된 실수]]값 함수이고 ''t'' > 0이면,

특별한 경우로특히, 측도가 1인 공간(확률 공간)에서는 이렇게 말할 수 있다.

측도 공간이 확률 공간인 경우를경우가 따로간단하고 증명한다.이해하기 일반적인쉬우므로 증명에서먼저 이설명한다. 경우만 떼어낸 것은 일반 독자가 읽기 쉽도록 하기 위해서이다.

=== 특수한 경우: 확률론확률론을 이용한 증명 ===

:<math>aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|.\,</math>

:<math>\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|).\,</math>

:<math>a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a).\,</math>

이고, 다음 식을 얻는다.

:<math>a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|)\,.</math>

=== 일반적인 경우: 측도 이론이론을 이용한 증명 ===