코시-리만 방정식: 두 판 사이의 차이

[[수학]], 복소해석학에서 '''코시-리만 방정식'''(Cauchy-Riemann equations)은 [[오귀스탱 루이 코시]](Augustin Cauchy)와 [[베른하르트 리만]](Bernhard Riemann), 두 수학자의 이름을 붙인 [[편미분 방정식]]으로, [[열린 집합]]에서 정의된 복소함수가 해석적(analytic or holomorphic)일 필요충분조건을 기술하는 데 자주 이용된다. 이 편미분방정식 [[장 르 롱 달랑베르]] (1752)의 연구에서 처음 나타났고, 이후 [[레온하르트 오일러]](1777)가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다. 코시(1814)는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용했다. 이 방정식은 리만의 함수론과 관련된 논문(1851)에서도 찾을 수 있다.

위 방정식의 두 실함수 <math>u</math>, <math>v</math> 를 각각 복소함수 <math>f</math> 의 실수부와 허수부라고 하자. 즉 <math>f (x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)</math>라고 하자. 만약 <math>u</math>, <math>v</math>가 복소평면 위의 어떤 열린집합 안에서 연속인 편도함수를 갖는다면 <math>f</math> 가 그 열린집합 안에서 해석적일 필요충분조건은 그 집합에 속하는 모든 점에서 <math>u</math>, <math>v</math>가 위의 코시-리만 방정식을 만족하는 것이다.