로런츠 군: 두 판 사이의 차이

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'''로렌츠로런츠 군'''(Lorentz群, {{lang|en|Lorentz group}})이란 [[민코프스키 공간]]에서의 [[로렌츠변환로런츠 변환]]과 [[회전변환]]을 모아놓은 [[군_(수학)|군]]을 말한다. 중력이 작용하지 않는 경우에는 로렌츠로런츠 군에 속하는 변환에 대하여 많은 물리학적 법칙들의 형태가 변하지 않는 대칭성을 가지고 있다.
 
예를 들면,
* [[전자기학]]의 [[맥스웰 방정식]]
* [[양자역학]]의 [[전자]]에 대한 [[디랙 방정식]]
이 있다. 때문에 로렌츠로런츠 군의 변환들은 자연의 법칙들이 가져야 할 기본적인 대칭성으로 받아들여지고 있다.
 
== 로렌츠 군의 정의 ==
로렌츠로런츠 군의 정의는군은 [[민코스프키 공간의공간]]의 원점을 변화시키기 않는 등거리변환을 모두 모아놓은 군이다. 즉, 선형변환
:<math> \Lambda : x^\mu \mapsto x'^\mu = \Lambda^\mu_\nu x^\nu </math>
중 [[거리]]
:<math>\eta_{\mu \nu} x^\mu x^\mu = t^2 - x^2 - y^2 - z^2 \;</math>
가 변하지 않고 원점이 변하지 않는 변환을 모아놓은 군이다. 로렌츠로런츠 군의 원소들은 [[직교행렬]], 즉, &Lambda;<sup>-1</sup> = &Lambda;<sup>T</sup> 이고, 계량텐서 ''&eta;''<sub>''&mu;&nu;''</sub> 의 부호가 (+,-,-,-) 이기 때문에 [[직교군]] O(1,3) 라 부르기도 한다.
 
로렌츠로런츠 군은 군이면서 매끄러운 [[다양체미분다양체]]이기도 때문에,이므로 [[리 군]]의 일종이기도 하다이룬다.
 
== 연결성분과 제한된 로렌츠로런츠 군 ==
로렌츠로런츠 군은 총 네 개의 [[연결공간|연결성분]]을 갖는다. 즉, 위상수학적으로 서로 분리된 군의 네 부분들을 생각해 볼 수 있다. 간단히 살펴 보면말해, 로렌츠로런츠 군에 속하는군의 원소들은 다음의 조건에 따라 네 가지로 분류할 수 있다.
* 시간을 역전시키는가?
* 공간의 방향이 유지되는가?
여기서, 시간이 역전되지 않는 변환을 정시적({{lang|en|orthochronous}})이라고 하고, 방향이 유지되는, 즉 det &Lambda; = 1 인 변환을 고유({{lang|en|proper}})하다고 한다.
 
군의 [[항등원]]은 정시적이며 고유한 연결성분에 들어있으며, 시간이 역전되지 않고 방향이 유지되는 변환들이 모두 포함되어 있다. 이 또한 [[부분군]]을 이루며 리 군이다. 이 연결성분을 정시적고유로렌츠정시적고유로런츠 군 또는 제한된 로렌츠로런츠 군({{lang|en|restricted Lorentz group}})이라 하며 SO<sup>+</sup>(1,3)라 쓴다. 경우에 따라선 로렌츠로런츠 군을 말할때 제한된 로렌츠로런츠 군을 가리키기도 한다. 또한 제한된 로렌츠로런츠 군은 로렌츠군의로런츠 군의 [[정규부분군]]이기도 하다.
 
제한된 로렌츠로런츠 군에 대한 로렌츠로런츠 군의 [[몫군]] O(1,3)/SO<sup>+</sup>(1,3)은 [[공간반전]] P 와 [[시간역전]] T 로 구성되어 있으며, <nowiki>{1, P, T, PT}</nowiki> 의 네 가지 원소를 가지고 있다. 이 몫군은 [[클라인 4원군]]과 [[동형]]이다.
 
== 로렌츠로런츠 대수 ==
제한된 로렌츠로런츠 군의 원소는 항등원가항등원과 연결되어 있기 때문에, 다음과 같은 무한소변환을 생각할 수 있다.
:<math>\Lambda^\mu_\nu = \delta^\mu_\nu + \omega^\mu_\nu</math>
여기서 |''&omega;''<sup>''&mu;''</sup><sub>''&nu;''</sub>| ≪ 1 이다. 변환의 무한소 부분 ''&omega;''는 로렌츠로런츠 군이 직교군이기 때문에 반대칭이여야반대칭이어야 한다.
:<math>\omega_{\mu\nu} = - \omega_{\nu\mu} \;</math>
반대칭인 4×4 행렬은 6개의 독립적인 변수를 가지고 있으므로, 제한된 로렌츠로런츠 군은 6개의 매개변수를 갖는다. 이를 매개변수로 하여 제한된 로렌츠로런츠 군의 무한소변환인 원소를 나타내 보면
:<math> \Lambda = 1 - \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} J^{\mu\nu} \;</math>
로 쓸 수 있다. 여기서 ''J''<sup>''&mu;&nu;''</sup>는 제한된 로렌츠로런츠 군의 [[생성원]]으로 로렌츠로런츠 군의 [[표현]]에 따라 달라지며 반대칭이다. 앞의 1/2는 위에서 합 계산이 독립적인 매개변수에 대해서만 해야 하지만, ''&omega;''의 모든 성분에 대해 합이 이루어져 중복 계산이 되었기 때문에 붙은 것이다. 이를 무한소변환이 아닌 변환으로 확장하면 임의의 제한된 로렌츠로런츠 군의 원소는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math> \Lambda = e^{-\frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} J^{\mu\nu}}</math>
제한된 로렌츠로런츠 군은 리 군이므로 [[대수를대수]]를 갖고 다음과 같이 주어진다.
:<math> [J^{\mu\nu}, J^{\rho\sigma} ] = i ( \eta^{\nu\rho} J^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho} J^{\nu\sigma} - \eta^{\nu\sigma} J^{\mu \rho} + \eta^{\mu \sigma} J^{\nu\rho} ) \;</math>
생성원을 공간벡터로 쓸 땐, 다음과 같이 6개의 매개변수를 벡터 형태로 새로 정의하고
각각에 대한 생성원을 다음과 같이 공간벡터로 쓴다.
:<math> J^i = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} J^{jk} , \quad K^i = J^{i0} </math>
이 때, 제한된 로렌츠로런츠 군의 원소는 다음과 같이 쓸 수 있으며
:<math> \Lambda = e^{- i \mathbf{\theta} \cdot \mathbf{J} + i \mathbf{\eta} \cdot \mathbf{K} }</math>
생성원에 대한 리 대수는 다음과 같다.