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{{양자역학}}
 
'''해밀토니안해밀토니언'''({{lang|en|Hamiltonian}})은 입자나 장(場)의 [[계 (물리학)|계]]의 에너지를 공간 [[좌표]]와 [[운동량]] 좌표로 표현한 것 또는 양자역학에서[[양자역학]]에서 이 값을 양자화한[[양자화]]한 [[연산자]]를 말한다. 후자는 '''해밀턴 연산자'''라고도 한다.
<!-- 여기서 좌표 q는 대상으로 하는 계의 운동을 나타내는 한 임의로 선택할 수 있고, 운동량 p는 이에 따라 정해진다. 이와 같이 좌표와 운동량이 특별한 관계를 가지며, 이 관계를 정준공액, 이 경우의 좌표와 운동량을 정준켤례인 역학변수라 한다. 따라서 해밀토니안은 정준공액인 역학변수로 에너지를 표현한 것이다.
 
로 일반좌표 ''q'', 일반운동량 ''p'' 에 따라 표시하는 함수였다. 식에서 t는 시간을 나타낸다. -->
 
== 고전역학에서의 해밀토니안해밀토니언 ==
고전역학에서[[고전역학]]에서 해밀토니안해밀토니언 H는 [[라그랑지안라그랑주 역학|라그랑지언]] L의 [[일반화 좌표|일반화 속도]]를 [[일반화 운동량]]으로 [[르장드르 변환]]한 것을 말한다.
 
:<math>H(q_i, \; p_i ,\; t) \equiv \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q_i, \; \dot{q}_i ,\; t) </math>
 
=== 해밀토니안과해밀토니언과 역학적 에너지 ===
만약 [[퍼텐셜]] U가 시간의 함수가 아니고
:<math>U = U(q_i)</math>
(여기서 c<sub>i</sub>는 임의의 상수) 아래의 관계식이 만족되어
:<math>\sum_i p_i \dot{q}_i = \sum_i \dot{q}_i {\partial L \over \partial \dot{q}_i} = \sum_i \dot{q}_i {\partial T \over \partial \dot{q}_i} = \sum_i 2 c_i \dot{q}_i^2 = 2T</math>
이를 해밀토니안에해밀토니언에 대입하면
 
:<math> H = T(q_i , \; \dot{q}_i) + V(q_i ) </math>
이 된다. 이러한 경우, 해밀토니안해밀토니언 H를 역학적 [[에너지]] E라 정의한다.
 
그리고, 해밀토니안에해밀토니언에 대한 시간의 전미분은 다음과 같다.
:<math>{dH \over dt} = {\partial H \over \partial t} + \sum_i {\partial H \over \partial q_i} \dot{q}_i + \sum_i {\partial H \over \partial p_i} \dot{p}_i</math>
그런데 여기에 [[해밀턴 방정식]] <math>\partial H / \partial q_i = - \dot{p}_i</math>, <math>\partial H / \partial p_i = \dot{q}_i</math> 을 대입하면 다음의 관계가 성립함을 알 수 있다.
:<math>{dH \over dt} = {\partial H \over \partial t}</math>
따라서 해밀토니안이해밀토니언이 직접적인 시간의 함수가 아니라면
:<math>{dH \over dt} = 0</math>
이 되어 해밀토니안이해밀토니언이 [[운동상수운동 상수]]가 됨을 알 수 있다. 이런 해밀토니안을해밀토니언을 갖는 계를[[계 (물리학)|계]]를 역학적 에너지가[[에너지]]가 보존되는 계라 하여 '''[[보존계]]'''({{lang|en|conservative system}})라 한다.
 
== 양자역학에서의 해밀토니안해밀토니언 ==
양자역학에서[[양자역학]]에서 해밀토니안은해밀토니언은 [[계 (물리학)|계]]의 전체 [[에너지]]를 나타내는 [[관측가능량]]이다. 다른 관측가능량들과 마찬가지로, 계의 전체 에너지를 측정할 때, 해밀토니안의해밀토니언의 [[스펙트럼]]은 관측 가능한 결과를 나타낸다. 다른 [[자체수반연산자]]와 마찬가지로, 해밀토니안의해밀토니언의 스펙트럼 또한 스펙트럼의 측정을 통해 순수한 점, 완전히 연속이거나 특이점이 있는 경우 등을 분해할 수 있다. 순수한 점 스펙트럼은 계의 특정한 [[속박상태]]를 나타내는 [[고유벡터]]로 취급될 수도 있다. 완전히 연속인 스펙트럼의 경우는, 상태의 선택이 자유로움을 의미한다. 특이점이 있는 스펙트럼의 경우는, 물리학적으로 불가능한 결과를 포함하기도 한다. 예를 들어, 유한한 [[퍼텐셜 우물]]을 생각해보자. 이 때, 속박상태의속박 상태의 경우는 음의 에너지, 연속적인 자유로운 상태는 양의 에너지를 가지게 된다.
 
== 같이 보기 ==