해밀턴 역학: 두 판 사이의 차이

 

== 라그랑주 역학과의 동등성 ==

:<math>H = H(q_i, \; p_i, \; t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L</math>

 

:<math>dL = \sum_i {\partial L \over \partial q_i} dq_i + \sum_i {\partial L \over \partial \dot{q}_i} d \dot{q}_i + {\partial L \over \partial t} dt</math>

그런데 [[일반화 운동량]]의 정의에 따르면

이고, [[라그랑주 방정식]]으로부터,

:<math>\dot{p}_i = {\partial L \over \partial q_i} </math>

:<math>dL = \sum_i \dot{p}_i dq_i + \sum_i p_i d \dot{q}_i + {\partial L \over \partial t} dt</math>

를 얻는다. 여기서 우변의 둘째항을 미분의 [[곱의 법칙]]을 사용해

:<math>\dot{q}_i = ~~{\partial H \over \partial p_i}</math>

:<math>\dot{p}_i = - {\partial H \over \partial q_i}</math>

:<math>{\partial H \over \partial t} = - {\partial L \over \partial t}</math>

이 식도 해밀토니언의 전미분에서 얻어지지만, 운동과 직접적인 관련이 없는 식이기 때문에 보통 해밀턴 방정식에 포함시키지 않는다.

해밀턴 방정식은 [[해밀턴의 원리]]로부터 얻을수도 있다. 먼저 해밀턴의 원리에서의 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같다.

:<math>S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\, dt </math>

:<math>S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \sum_i p_i dq_i - H dt \right] </math>

이 작용에 변분을 취하면