미적분학의 기본 정리: 두 판 사이의 차이

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 이다.
 
'''< 증 명 a >'''
 
전 구간에서 연속인 함수 <math>\ f(t) </math>에 대해서
:<math> {d} \int_{a}^{x} f(t)dt</math>의 값은
근사시킨 구간[a,x]에서 f(t)와 t축사이의 의 넓이이다.
:
그리고 이것을 <math>\ dx </math> (밑변)로 나눈 값이
<math>\ f(x) </math> (높이)가 되는 것이다.
왜 <math>\ f(x) </math>가 높이가 되는지 알아보자.
연속함수에 대해 구간의 양 끝 함수값의 사이에 <math>\ y </math>값을 잡으면
그에 대응하는 <math>\ x </math>값이 적어도 하나 존재한다는 것을 중간값 정리에 의해 알고 있다.
구간[a,b]에서 f(x)와 x축 사이의 각 조각이 막대그래프가 되도록 하는 <math>\ y </math>값( <math>\ f(c) </math> ) 그리고 그에 대응하는 <math>\ x </math>값을 <math>\ c </math>라 하자 (by [[중간값 정리]]) . 이때 <math>\ c </math>의 범위는 <math>\ x < c < x + dx </math> 의 범위를 갖는다.
그런데 <math>\ dx </math>의 값은 0을 향해 가고 ( by 미분 ) , [[압착 정리]]에 의해 <math>\lim_{dx\to0}c= x </math>임을 알 수 있다.
그러므로 넓이 <math> {d} \int_{a}^{x} f(t)dt</math> 에서 밑변 <math>\ dx </math> 으로 나눈 것은 높이 <math>\ f(x) </math>가 되는 것이다.
 
'''< 증 명 b >'''
 
<math>\ S(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt </math>