군의 표현: 두 판 사이의 차이
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==정의==
G가 [[군 (수학)|군]]이고 V가 [[체 (수학)|체]] K 상의 [[벡터공간]]이라 하자. 이때 '''G의 V에 대한 표현'''은 G에서 GL(V)로의 [[군 준동형사상]]을 말한다. (여기에서 GL(V)는 V 상의 [[일반선형군]]이다.) 즉, 이는 사상 <math>\rho \colon G \to GL(V) \,\!</math>로서 임의의 G의 원소 g<sub>1</sub>과 g<sub>2</sub>에 대해 <math>\rho(g_1 g_2) = \rho(g_1) \rho(g_2) \!</math>을 만족하는 경우이다.
여기에서 V를 '''표현공간'''(representation space)이라 하고, V의 [[벡터공간의 차원|차원]]을 이 표현의 '''차원'''이라고 한다. [[언어의 남용]]으로서, G에서 GL(V)로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 V를 G의 표현이라 부르기도 한다.
V가 유한차원일 때에는 V의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 하나 선택하여 GL(V)를 K 상의 n행 n열 [[가역행렬]](n의 V의 차원)들의 군 GL(n, K)와 동일시하는 것이 일반적이다.
G가 [[위상군]]이고 V가 [[위상벡터공간]]일 경우, G의 V에 대한 표현 ρ가 '''연속 표현'''이라는 것은 Φ(g,v) = ρ(g).v로 정의된 함수 <math>\Phi:G\times V\to V</math>가 [[연속함수 (위상수학)|연속]]인 경우를 말한다.
G의 표현 ρ의 '''핵'''(kernel)은 ρ로 보낸 상이 항등변환이 되는 원소들로 이루어진 G의 정규부분군으로 정의한다:
:<math>\ker \rho = \left\{g \in G \mid \rho(g) = id\right\} \,\!</math>
[[de:Darstellungstheorie]]
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