가 위상공간이라고 하자. 위의 차원 특이단체(singular complex)는 연속함수를 뜻한다. 위의 차원 사슬(chain)은 모든 차원 특이단체로 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 이 아벨 군을 이라고 쓰자.
경계 연산자
표준단체 의 꼭지점들을 이라고 하자. 표준단체 의 경계(겉표면)은 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 개의 꼭지점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어
의 꼴이다. 이를 편의상
로 쓰자.
차원 특이단체 의 경계(boundary) 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \partial_n\sigma_n\in C_{n-1}}
는 다음과 같다.
.
경계 연산자 는 특이단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 (선형으로) 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 이다. 이는 아벨 군의 군 준동형사상을 이룬다. 또한, 는 항상 0이다. 따라서 은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지 군