"특이 호몰로지"의 두 판 사이의 차이

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<math>n</math>차원 특이단체 <math>\sigma_n\colon\Delta^n\to X</math>의 '''경계'''({{lang|en|boundary}}) <math>\partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X)</math>는 다음과 같다.
:<math>\partial_n\sigma_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}</math>.
경계 연산자 <math>\partial_n</math>는 특이단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 <math>\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>이다. 이는 [[아벨 군]]의 [[군 준동형사상]]을 이룬다. 또한, <math>\partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)</math>는 항상 0이다. 따라서 <math>(C_\bullet(X),\partial_\bullet)</math>은 [[사슬 복합체]]를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 [[호몰로지]] 군
:<math>H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}</math>
들을 '''특이 호몰로지'''라고 한다.
=== 정수가 아닌 계수를 가진 특이 호몰로지 ===
[[아벨 군]]은 [[환 (수학)|환]] <math>\mathbb Z</math>에 대한 자유 [[가군]]이다. 환 <math>\mathbb Z</math>를 다른 일반적인 (1을 포함하는) 환 <math>R</math>로 대체하여 호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 <math>C_\bullet(X,R)</math>은 자유 <math>R</math>-가군이 되고, <math>H_\bullet(X,R)</math>은 (일반적으로 자유롭지 않은) <math>R</math>-가군이 된다.
 
== 특이 코호몰로지 ==
<math>X</math> 위의 '''공사슬'''({{lang|en|cochain}})은 [[군 준동형사상]] <math>\phi^n\colon C_n(X)\to \mathbb Z</math>이다. 공사슬의 집합은 [[아벨 군]]을 이루며, <math>C^n(X)=\hom(C_n,\mathbb Z)</math>으로 쓴다. 공사슬의 '''공경계'''({{lang|en|coboundary}}) <math>\delta_n\colon C^n\to C^{n+1}</math>은 다음과 같다.
:<math>\delta_n(\phi^n)(\sigma_{n+1})=\phi^n(\partial_{n+1}\sigma_{n+1})</math>.
<math>(C^\bullet(X),\delta_\bullet)</math>은 [[공사슬 복합체]]를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 [[코호몰로지]] 군
:<math>H^n(X)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1}</math>
들을 '''특이 코호몰로지'''라고 한다.
 
== 참고 문헌 ==