상대 호몰로지: 두 판 사이의 차이

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(통상적인) [[특이 호몰로지]]를 <math>H_n(X)</math>라고 하면, <math>H_n(X,\varnothing)=H_n(X)</math>이다. 즉, 통상적인 특이 호몰로지는 상대 호몰로지의 특수한 경우다.
 
=== 절단 정리 ===
<math>(X,A)</math>가 위상수학적으로 비교적 정상적인 경우 보통 <math>H_\bullet(X,A)=H_\bullet(X/A)</math>이다.
 
<math>U\subset A</math>가 <math>\operatorname{cl}U\subset\operatorname{int}(A)</math>를 만족한다고 하자. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[닫힘 (위상수학)|닫힘]]이고, <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]]이다. 그렇다면 <math>H_\bullet(X,A)=H_\bullet(X\setminus U,A\setminus U)</math>이다. 이를 '''절단 정리'''({{lang|en|excision theorem}})이라고 한다.
 
나아가, <math>(X,A)</math>가 위상수학적으로 비교적 정상적인 경우 보통 <math>H_\bullet(X,A)=H_\bullet(X/A)</math>이다.
=== 상대 호몰로지의 긴 완전열 ===
[[지그재그 보조정리]]({{lang|en|zigzag lemma}})를 사용하여, 다음과 같은 [[완전열]]을 정의할 수 있다.
:<math>\cdots\to H_n(A)\xrightarrow{i_*}H_n(X)\xrightarrow{j_*}H_n(X,A)\xrightarrow{\partial_*}H_{n-1}(A)\to\cdots</math>.
여기서 <math>i_*</math>와 <math>j_*</math>는 짧은 완전열의 사상들
:<math>0\to C_\bullet(A)\xrightarrow i C_\bullet(X)\xrightarrow j C_\bullet(X,A)\to0</math>
의 펑터 <math>H_n</math>에 대한 [[상 (수학)|상]]이다. <math>\partial_*</math>는 지그재그 보조정리에 의하여 정의되는 사상이다. 즉, 상대 호몰로지 <math>H_n(X,A)</math>의 경계는 <math>H_{n-1}(A)</math>에 속한다.
 
== 에일렌베르크-스틴로드 공리 ==