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산술의 기본 정리: 두 판 사이의 차이

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(<math>p_i=q_j</math>이면, <math> n>\frac{n}{p_i}</math> 역시 소수의 곱이 유일하지 않다.)
 
한편 <math>p_1^2 \le n, q_1^2 \le n</math>이고 <math>p_1^2</math>과 <math>q_1^2</math>은 동시에 <math>n</math>이 될 수 없으므로, <math>0<p_1q_1<n</math>이 된다.
 
여기서 <math>N=n-p_1q_1</math> 이라고 한다면, <math>0<N<n</math> 이므로, 가정에 의해 <math>N</math>을 나타내는 소수의 곱이 유일하다. 또한 <math>N</math>은 <math>p_1</math>을 약수로갖고, <math>q_1</math>도 약수로갖기 때문에 <math>p_1q_1</math>도 역시 <math>N</math>의 약수이다. 따라서 <math>p_1q_1</math>은 <math>n</math>의 약수가 되고, <math>\frac{n}{p_1}</math>은 <math>q_1</math>을 약수로 갖아야 한다. 즉 <math>\frac{n}{p_1}=p_2p_3...p_k</math>는 <math>q_1</math>을 약수로 갖아야 한다. 하지만, <math>p_i \ne q_j</math> 이고, <math>p_i</math>,<math>q_j</math>는 소수임으로, 이것은 불가능하다. 즉, 모순이 생긴다.
<math>N=n-p_1q_1</math> 이라고 한다면, <math>0<N<n</math> 이고, 또한 <math>p_1|N</math>, <math>q_1|N</math> 이기 때문에, <math>N</math>의 유일한 소인수분해의 표현에는 <math>p_1</math>과 <math>q_1</math>가 동시에 존재하여야 한다.
 
따라서, <math>p_1q_1|N</math>이므로 <math>N=p_1q_1S</math> (<math>S</math>는 양의정수)
 
<math>n=N+p_1q_1=p_1q_1(S+1)</math>
 
양변을 <math>p_1</math>으로 나누면
 
<math>\frac{n}{p_1}=q_1(S+1)</math>
 
<math>p_2p_3p_4...p_k=q_1(S+1)</math>, 즉 <math>q_1|p_2p_3p_4...p_k</math>
 
그러나 <math>=\frac{n}{p_1}</math>는 <math>n</math> 보다 작기 때문에 소인수분해가 유일하고 ,<math>q_1 \ne p_i</math>이면서, 동시에 <math>q_1</math>은 소수이므로, 소수의 곱이 유일하지 않는 양의 정수가 있다는 가정은 모순이다.
 
== 같이 보기 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/산술의_기본_정리"