열린집합: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
편집 요약 없음 |
유클리드 공간에 대한 열린 집합의 정의를 추가하고 열린 집합에 관련된 정리를 하나 추가하였다. |
||
5번째 줄:
== 정의 ==
===위상공간===
U의 모든 점이 [[내부 (위상수학)|내부점]]이면 U는 열린 집합이다.
===유클리드 공간===
<math>U\sub\mathbf{R}^n</math>를 정의하자. 만약 <math>U</math>의 모든 점 <math>\mathbf{x}_0</math>에 대하여 <math>D_r(\mathbf{x}_0)</math>가 <math>U</math>의 부분집합이 되는 어떤 <math>r>0</math>이 존재한다면 그 <math>U</math>를 '''열린 집합'''이라고 한다. 여기서 <math>D_r(\mathbf{x}_0)</math>는 반지름 <math>r</math>, 중심이 <math>\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n</math>인 [[공 (수학)|열린 공]]으로 <math>\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <r</math>을 만족하는 모든 점 <math>\mathbf{x}</math>라고 정의한다. 즉, <math>\mathbb{R}^n</math>의 원소 <math>\mathbf{x}</math>중 <math>\mathbf{x}_0</math>로부터의 거리가 <math>r</math>미만인 모든 <math>\mathbf{x}</math>의 집합을 의미한다.<ref>{{서적 인용 |isbn=0-7167-4992-0 |제목=Vector Calculus(Fifth Edition) |저자=Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company |발행년도=2003}}</ref>
<math>U\sub\mathbf{R}^n</math>가 있을 때 <math>\forall\mathbf{x}\in U\ \exist r>0\ s.t.\ D_r(\mathbf{x}_0)\sub U</math>라면 <math>U</math>는 '''열린 집합'''이다.
==관련 정리==
#<math>r>0</math>일때 모든 <math>\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>D_r(\mathbf{x}_0)</math>는 '''열린 집합'''이다.
::(증명) <math>s=r-\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| >0</math>인 <math>s</math>를 잡자. 그 때 <math>D_s(\mathbf{x})</math>의 원소 <math>\mathbf{y}</math>는 다음과 같은 성질을 만족한다.
:::<math>\|\mathbf{y}-\mathbf{x}_0\|=\| (\mathbf{y}-\mathbf{x})+(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)\|\le\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\| +\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| <s+\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0\| =r</math>
::<math>\|\mathbf{y}-\mathbf{x}_0\| <r</math>이므로 <math>D_s(\mathbf{x})\sub D_r(\mathbf{x}_0)</math>이고 따라서 <math>D_r(\mathbf{x}_0)</math>는 '''열린 집합'''이다.
==참고 서적==
<references/>
{{토막글|수학}}
| |||