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특수 유니터리 군

정의편집

 자기 동형

 

를 가진다고 하자.   위의 유한 차원 벡터 공간  와,   위의 비퇴화 반쌍선형 형식

 
 
 

가 주어졌을 때, 특수 유니터리 군  는 다음 조건을 만족시키는 특수선형군의 원소들의 군이다.

 

특히, 만약   차원 벡터 공간이며,  가 자명한 항등 이차 형식

 

일 경우, 이를  라고 쓴다. 만약  를 생략하는 경우,  를 뜻한다.

또한, 만약  이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며,   차원 복소수 벡터 공간이며,  계량 부호수 라면, 이는  라고 쓴다.

리 대수편집

 리 대수

 

  반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서   에 각 성분로 켤레를 가한 뒤 전치 행렬을 취한 것이다.

특히,  파울리 행렬로 생성되며,  겔만 행렬로 생성된다.

SU*(2n)편집

 의 경우,   또는  로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

  위의 벡터 공간   위에 심플렉틱 구조

 
 
 

가 주어졌다고 하자. (만약  가 유한 차원일 때,  는 짝수 차원이 되며, 적절한 기저에서  

 

의 꼴로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 다음과 같은 리 군을 정의할 수 있다.

 
 

만약  일 때,  실수 리 대수 의 실수 형태이다.

 일 때, 이 구성은 사원수로 적을 수 있다. 우선, 사원수 벡터 공간   위의 사원수 선형 변환리 군

 

을 생각하자. 이는 실수  차원의 리 군이다. 이제, 임의의

 

 복소구조

 

를 정의하며, 이 복소구조에 대하여

 

를 정의할 수 있다. 이 정의는  의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

성질편집

군론적 성질편집

특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다.

 

중심에 대한 몫군사영 특수 유니터리 군(영어: projective special unitary group)이라고 한다.

 

리 이론적 성질편집

특수 유니터리 군   차원 단순 리 군이며, 계수는  이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는  이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

 

특수 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

 

특수 유니터리 군의 바일 군은 다음과 같은 대칭군이다.

 

대칭군   차원 순열 표현(영어: permutation representation) 및 그 부분 표현인  차원의 표준 표현(영어: standard representation)을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은  차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다.

위상수학적 성질편집

 콤팩트 공간이며 연결 공간이며 단일 연결 공간이다.

 는 3차원 초구  위상동형이다.

포함 관계편집

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

  •  . 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는   딘킨 도표에서  로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
     
  •  . 이는 실수   행렬을 복소수   행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다.
  •  . 이는   딘킨 도표에서  로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
     
  •  . 이는  딘킨 도표를 반으로 접어서 얻는다.
     
  •  .[1]:§4.12 이는 E7 딘킨 도표에서,  로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점  을 제거하여 얻는다.
     
  •  .[1]:§5.11 이는 E8  자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서,  로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점  을 제거하여 얻는다.
     
  •  

예외적 동형편집

낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)이 성립한다.

 
 
 
 
 
 
 
 

표현론편집

 의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, 정의 표현(영어: defining representation)   차원 표현이며, 그 켤레   역시  차원 표현이다. 또한,  차원 딸림 표현이 항상 존재한다.

 의 표현들은 매우 간단하며, 반정수  에 의하여 분류된다. 이를 표현의 스핀이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다.

응용편집

SU(n)은 입자물리학표준 모형에서 쓰인다. SU(2)약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다.

참고 문헌편집

  1. Yokota, Ichiro (2009년 2월). “Exceptional Lie groups” (영어). Bibcode:2009arXiv0902.0431Y. arXiv:0902.0431. 

외부 링크편집

같이 보기편집