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대수적 위상수학에서, 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의편집

 위상 공간이며,  가 (1을 갖는) 이라고 하자. 그렇다면,  의,   계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

사슬편집

 차원 표준 단체(標準單體, 영어: standard simplex)  은 다음과 같다.

 .

이는 선분삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

  위의  차원 특이 단체(特異單體, 영어: singular complex)는 연속 함수

 

를 뜻한다.   위의,   계수의  차원 사슬(영어: chain)은 모든  차원 특이 단체로 의하여 생성되는,   위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을  라고 쓰자. (만약  일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.)

경계편집

표준 단체  의 꼭짓점들을  이라고 하자. 표준 단체  의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은  개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

 

의 꼴이다. 이를 편의상

 

로 쓰자.

 차원 특이 단체  경계(境界, 영어: boundary)  는 다음과 같다.

 .

경계 연산자  는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉  이다. 이는   위의 가군가군 준동형을 이룬다. 또한,  는 항상 0이다. 따라서  사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지

 

들을 특이 호몰로지라고 한다. 이는   위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)

특이 코호몰로지편집

  위의 공사슬(共-, 영어: cochain)은 가군 준동형  이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며,  으로 쓴다. 공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary)  은 다음과 같다.

 .

 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지

 

들을 특이 코호몰로지(영어: singular cohomology)라고 한다.

성질편집

 라면, 보편 계수 정리에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 쌍대 공간이다.

 

그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다.

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초구편집

 차원 초구  의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

 
 
 
 

사영 공간편집

복소수 사영 공간  의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

 
 

실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

 
 
 

여기서  표수가 2가 아닌 임의의 이다.

원환면편집

 차원 원환면  의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

 .

여기서  이항계수로,  인 경우 0으로 정의한다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

외부 링크편집