팔원수

팔원수(八元數, 영어: octonion 옥토니언^[*]) 또는 케일리 수(영어: Cayley number)는 유일한 8차원 비가환 비결합 노름 나눗셈 대수이다.

정의

팔원수 대수는 실수체 위의 8차원의 유일한 노름 나눗셈 대수이다. 그 기저를 $1,e_{1},e_{2},\dots ,e_{7}$이라고 잡으면, 팔원수의 곱셈표는 다음과 같다.^{:Table 1}

팔원수 곱셈표
ab =

a╲b	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	−1	+e4	+e7	−e2	+e6	−e5	−e3
e2	−e4	−1	+e5	+e1	−e3	+e7	−e6
e3	−e7	−e5	−1	+e6	+e2	−e4	+e1
e4	+e2	−e1	−e6	−1	+e7	+e3	−e5
e5	−e6	+e3	−e2	−e7	−1	+e1	+e4
e6	+e5	−e7	+e4	−e3	−e1	−1	+e2
e7	+e3	+e6	−e1	+e5	−e4	−e2	−1

팔원수는 사원수 대수에 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

팔원수 곱셈은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.^:§2 여기서 $e_{i}$의 첨자 $i$는 유한체 $\mathbb {F} _{7}$의 원소로 해석한다.

• (반대칭성) $e_{i}e_{j}={\begin{cases}-1&i=j\\-e_{j}e_{i}&i\neq j\end{cases}}$
• (사원수 부분 대수) 만약 $e_{i}e_{j}=e_{k}$라면, $\{\pm 1,\pm e_{i},\pm e_{j},\pm e_{k}\}$는 사원수군을 이룬다. 즉, $e_{j}e_{k}=e_{i}$이며 $e_{k}e_{i}=e_{j}$이다.
• (첨자의 순환성) 만약 $e_{i}e_{j}=\pm e_{k}$라면, $e_{i+1}e_{j+1}=\pm e_{k+1}$
• (첨자 2배 항등식) 만약 $e_{i}e_{j}=\pm e_{k}$라면, $e_{2i}e_{2j}=\pm e_{2k}$

$\mathbb {F} _{7}$에서 $2^{3}=8\equiv 1{\pmod {7}}$이므로, 첨자 2배 항등식은 팔원수 대수의 $\mathbb {Z} /3$ 대칭을 정의한다.

파노 평면 표현

팔원수의 곱셈은 다음과 같이 파노 평면 $\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{2}}^{2}$(2차 유한체 $\mathbb {F} _{2}$ 위의 사영 평면)으로 나타낼 수 있다.^:§2

여기서, 같은 직선 위에 놓인 세 점 $(e_{i},e_{j},e_{k})$은 사원수군을 생성한다. 즉, $e_{i}e_{j}=e_{k}$이다. 파노 평면의 시계 방향 120° 회전 대칭은 팔원수의 첨자 2배 항등식에 의한 자기 동형 $e_{i}\mapsto e_{2i}$을 나타낸다.

7차원 벡터곱

벡터의 스칼라곱은 임의의 차원에서 정의되지만, 벡터곱은 3차원과 7차원에서만 정의될 수 있다. (1차원의 "벡터곱"은 값이 항상 0인 상수 함수이다.) 3차원 벡터의 벡터곱은 잘 알려져 있으며, 사원수의 존재를 가능케 한다. 마찬가지로, 7차원 벡터의 벡터곱의 존재는 팔원수의 존재와 관련있다.

팔원수를 실수 (스칼라) 성분 $a$와 7차원 허수 (벡터) 성분 $\mathbf {v}$의 합으로 나타내자. 그렇다면, 팔원수의 곱은 다음과 같다.

$(a+\mathbf {u} )(b+\mathbf {v} )=(ab-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+(a\mathbf {v} +b\mathbf {u} +\mathbf {u} \times \mathbf {v} )$

이는 사원수의 곱과 같은 꼴이지만, 3차원 벡터의 스칼라곱 · 벡터곱 대신 7차원 벡터의 스칼라곱 · 벡터곱을 사용한다.

7차원 벡터의 벡터곱은 3차원 벡터곱과 마찬가지로 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

$\mathbf {u} \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} =0$

$\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\sin \angle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )$

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {u}$

$\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {u} )=\mathbf {w} \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )$

그러나 3차원 벡터곱과 달리, 7차원 벡터의 3중 스칼라곱 $-\cdot (-\times -)$은 3×3 행렬식으로 나타낼 수 없다. 또한, 벡터 3중곱에 대한 다음 항등식들이 3차원에서는 성립하지만, 7차원에서는 성립하지 않는다.

• (벡터 3중곱 항등식) $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w}$
• (야코비 항등식) $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )+\mathbf {v} \times (\mathbf {w} \times \mathbf {u} )+\mathbf {w} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=0$

야코비 항등식의 실패에 따라, 7차원 벡터곱은 리 대수의 리 괄호를 정의하지 않는다. (그러나 이는 리 대수보다 약한 개념인 말체프 대수(영어: Mal’cev algebra)를 이룬다.)

성질

팔원수 대수의 곱셈은 교환 법칙과 결합 법칙을 따르지 않는다. 그러나 팔원수 대수는 실수체 위의 교대 대수이다. 즉, 다음 항등식이 성립한다.

$x(xy)=x^{2}y$

$(yx)x=yx^{2}$

팔원수 대수는 나눗셈 대수이다. 즉, 모든 원소는 역원을 갖는다. 따라서, 0이 아닌 팔원수들은 곱셈에 대하여 무팡 고리를 이룬다.

노름과 켤레

팔원수의 노름(영어: norm)은 다음과 같다.

$|\cdot |\colon \mathbb {O} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

$|a_{0}+a_{1}e_{1}+\cdots +a_{7}e_{7}|={\sqrt {a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+\cdots +a_{7}^{2}}}$

이에 따라, 팔원수 대수는 실수체 위의 노름 나눗셈 대수를 이룬다.

주어진 팔원수의 켤레(영어: conjugate)는 허수 성분의 부호를 바꾸는 $\mathbb {R}$-선형 변환이다.

${\bar {}}\colon \mathbb {O} \to \mathbb {O}$

${\overline {a_{0}+a_{1}e_{1}+\cdots +a_{7}e_{7}}}=a_{0}-a_{1}e_{1}-\cdots -a_{7}e_{7}$

그렇다면, 임의의 팔원수 $a,b\in \mathbb {O}$에 대하여 다음 항등식이 성립한다.

$a{\bar {a}}={\bar {a}}a=|a|^{2}$

$|ab|=|a||b|$

두 번째 항등식은 데겐의 여덟 제곱수 항등식과 같다.

자기 동형

팔원수의 집합 $\mathbb {O}$를 곱셈 연산 $\mathbb {O} \times \mathbb {O} \to \mathbb {O}$가 갖추어진 8차원 실수 벡터 공간으로 간주하여, 곱셈을 보존하는 자기 동형군 $\operatorname {Aut} (\mathbb {O} )$을 생각할 수 있다. 이는 단순 리 군 G₂의 콤팩트 형식과 같다.

역사

1818년 10월 7일에 덴마크의 수학자 카를 페르디난 데겐(덴마크어: Carl Ferdinand Degen, 1766~1825)은 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 발견하였다. 이는 팔원수의 노름이 팔원수 곱셈과 호환된다는 것과 같다.

1843년 10월 6일에 윌리엄 로언 해밀턴은 사원수를 발견하였고, 다음날에 이 발견에 대하여 친구인 아일랜드의 수학자 존 토머스 그레이브스(영어: John Thomas Graves, 1806~1870)에게 편지로 적어 보냈다. 같은 해 크리스마스 경에 그레이브스는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 재발견하였고, 이를 기반으로 한 팔원수를 고안하였다. 그레이브스는 팔원수를 "옥타브"(영어: octave)라고 명명하였다. 그레이브스는 이 발견을 윌리엄 로언 해밀턴에게 서편으로 거론하였으나, 대외적으로 발표하지 않았다.

해밀턴은 사원수의 발견을 1844년에 대외적으로 발표하였고, 곧 아서 케일리가 1845년에 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다. 이 논문은 타원 함수에 대한 내용이었는데, 거의 모두가 틀린 내용이었지만 맨 끝에 부록으로 적은 팔원수에 대한 내용만은 옳았다.^:§1 이를 보고 그레이브스는 같은 저널 다음 호에 부랴부랴 자신의 팔원수에 대한 논문을 수록시켰지만, 팔원수는 "케일리 수"라는 이름으로 알려지게 되었다.

참고 문헌

• Okubo, Susumu (1995년 8월). 《Introduction to octonion and other non-associative algebras in physics》. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics (영어) 2. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511524479. ISBN 978-052147215-9. MR 1356224. Zbl 0841.17001. 
• Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003년 1월 23일). 《On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry》 (영어). A.K. Peters. ISBN 978-156881134-5. MR 1957212. Zbl 1098.17001. 

외부 링크

• “Cayley numbers”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cayley-Dickson algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Octonion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cayley algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Degen's eight-square identity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Octonion”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “팔원수(octonions)”. 《수학노트》. 

같이 보기

• 사원수
• 케일리-딕슨 구성
• G₂
• 파노 평면
• 요르단 대수