페르마 두 제곱수 정리

수론에서, 페르마 두 제곱수 정리(-數定理, 영어: Fermat's theorem on sums of two squares)는 홀수 소수가 두 개의 제곱수의 합일 필요 충분 조건이 4에 대한 나머지가 1이라는 것이라는 정리이다.

정의편집

홀수 소수  가 주어졌다고 하자. 페르마 두 제곱수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  인 정수  가 존재한다.
  •  

사실, 4에 대한 나머지가 1인 소수는 무한히 많이 존재하며, 이에 대한 두 제곱수로의 표현는 (더하는 순서를 무시하면) 유일하다. 작은 소수의 경우는 다음과 같다.

p min{x,y} max{x,y}
2 1 1
5 1 2
13 2 3
17 1 4
29 2 5
37 1 6
41 4 5
53 2 7
61 5 6
73 3 8
89 5 8
97 4 9
(OEIS의 수열 A002331) (OEIS의 수열 A002313) (OEIS의 수열 A002330)

증명편집

전자가 후자를 함의하는 것은 자명하다. 이는 제곱수의 4에 대한 나머지는 0이거나 1이므로, 두 제곱수의 합의 4에 대한 나머지는 0, 1, 2이기 때문이다. 반대 방향에 대한 몇 가지 증명은 아래와 같다.

오일러의 증명편집

처음 출판된 증명은 레온하르트 오일러가 제시하였다.[1][2] 이 증명은 무한 강하법을 사용하며, 이후에 제시된 증명들에 비하면 복잡하다. 이는 대략 다음과 같다.

우선, 다음과 같은 명제를 증명하자.

  • 어떤 두 제곱수의 합인 수  가 두 제곱수의 합인 소인수  를 갖는다면, 몫  은 두 제곱수의 합이다.

가정에 의하여, 다음이 성립한다.

 

즉,  이거나,  이다. 편의상 전자를 가정하자. 그렇다면, 브라마굽타-피보나치 항등식

 

에 의하여,  이므로, 두 수의 몫은 다음과 같이 두 제곱수의 합이다.

 

이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.

  • 어떤 두 제곱수의 합인 수  가 두 제곱수의 합이 아닌 약수  를 갖는다면, 몫  는 두 제곱수의 합이 아닌 약수를 갖는다.

귀류법을 사용하여,  의 모든 약수가 두 제곱수의 합이라고 하자. 그렇다면, 특히  의 한 소인수  는 두 제곱수의 합이며, 이전의 명제에 따라,  는 두 제곱수의 합이다. 이를  의 (중복도를 감안한) 모든 소인수에 대하여 반복하면,  가 두 제곱수의 합이라는 결론을 얻으며, 이는 모순이다.

이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.

  • 정수   이고,  이라고 하자. 그렇다면,  이고,  이며,  인 정수  가 존재한다.

다음과 같은 정수  을 취하자.

 
 

그렇다면,  이므로  이고, 또한

 

이다.  을 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면,  이다. 또한,  이므로,  이며,  이다. 따라서, 다음이 성립한다.

 
 

즉,  는 명제의 조건을 만족시킨다.

이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.

  • 정수   이라면,  의 모든 약수는 두 제곱수의 합이다.

귀류법을 사용하여,  가 두 제곱수의 합이 아니라고 가정하자. 이전의 명제에 따라, 다음을 만족시키는 정수  를 취하자.

 

그렇다면,  는 두 제곱수의 합이 아닌 약수  를 갖는다. 또한  이다. 이를   에 대하여 반복할 수 있다. 즉, 다음을 만족시키는 정수  를 취하자.

 

그렇다면,  는 두 제곱수의 합이 아닌 약수  를 가지며,  이다. 이와 같이 반복하면, 양의 정수의 순감소 무한 수열

 

를 얻으며, 이는 모순이다.

이제, 두 제곱수 정리를 증명하자. 소수  가 어떤 정수  에 대하여  라고 하자. 다음과 같은 정수  가 존재한다고 가정하자.

 
 

그렇다면, 페르마의 소정리에 따라,

 

이다. 따라서

 

이며, 이전의 명제에 따라  는 두 제곱수의 합이다. 즉, 두 제곱수 정리를 증명하려면 위와 같은  를 찾으면 된다.

이를 위해, 수열

 

의 1계 유한 차분

 

을 생각하자. 귀류법을 사용하여, 1계 유한 차분의 모든 항이  를 약수로 가진다고 가정하자. 그렇다면, 2계 유한 차분의 모든 항 역시  를 약수로 가지며, 마찬가지로 3계, 4계, …,  계 유한 차분의 모든 항 역시  를 약수로 가진다. 그러나 수열   계 유한 차분은 모든 항이  이며,   의 약수가 아니다. 이는 모순이므로, 어떤  에 대하여

 

이 성립한다. 즉,   은 위와 같은 조건을 만족시킨다.

투에 보조정리를 통한 증명편집

만약  라고 하자.[3]:167-168 그렇다면, −1은  에 대한 제곱 잉여이므로,

 

인 정수  가 존재한다. 또한  이므로, 투에의 보조정리에 따라,

 
 

를 만족시키는 정수  가 존재한다. 따라서,

 

이며,  이다. 또한,  이므로,

 

이다.

한 문장 증명편집

유한 집합[4]:144

 

위의 대합

 

는 유일한 고정점  를 가지므로,  는 홀수이다. 따라서 또 하나의 대합

 

역시 적어도 하나의 고정점  을 가지며, 이는

 

를 만족시킨다.

일반화편집

n=x2+y2편집

임의의 양의 정수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  인 정수  가 존재한다.
  •  은 4에 대한 나머지가 3인 홀수 중복도의 소인수를 가지지 않는다.

충분 조건은 어떤 두 제곱수의 합으로 표현되는 수의 곱도 두 제곱수의 합임을 이용하면 자명하다. 필요 조건의 증명에는 제곱 잉여의 이론을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

p=x2+2y2편집

홀수 소수  에 대하여, 다음 두 조건 역시 서로 동치이다.

  •  인 정수  가 존재한다.
  •  

증명편집

우선,  인 정수  가 존재한다고 가정하자.[5]:321–322 그렇다면,

 

이므로, 어떤 정수  에 대하여

 

가 성립한다. 따라서,

 

이므로,

 

이다. 즉, −2는  에 대한 제곱 잉여이며, 이는

 

와 동치이다.

반대로,

 

라고 가정하자. 이는 −2가  에 대한 제곱 잉여인 것과 동치이므로, 어떤 정수  에 대하여

 

가 성립한다. 다음과 같은 집합을 생각하자.

 

여기서   에 대한 나머지를 구하는 함수이다. 이 집합의 원소는 많아야  개여야 하므로, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 
 

사실, 다음과 같은 동치 관계에 따라,  이며  이다.

 

이제, 정수  를 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면,

 
 

이며,

 

이다. 즉, 다음을 만족시키는 정수  이 존재한다.

 

또한,  이므로,  이다. 만약  이라면,  는 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다. 만약  이라면,  이며,

 

이므로, 역시 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다.

n=x2+2y2편집

양의 정수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  인 정수  가 존재한다.
  •  은 8에 대한 나머지가 5, 7인 홀수 중복도의 소인수를 가지지 않는다.

역사편집

프랑스알베르 지라르1632년 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 피에르 드 페르마1640년 마랭 메르센에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 1749년 스위스 수학자 레온하르트 오일러크리스티안 골트바흐에게 보내는 편지에서였다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Euler, Leonhard (1758). “De numeris, qui sunt aggregata duorum quadratorum”. 《Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae》 (라틴어) 4: 3–40. 
  2. Euler, Leonhard (1760). “Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum”. 《Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae》 (라틴어) 5: 3–13. 
  3. 오정환; 이준복 (2003). 《정수론》. 
  4. Zagier, D. (1990년 2월). “A One-Sentence Proof that Every Prime p≡1(mod4) is a Sum of Two Squares”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 97 (2): 144. doi:10.2307/2323918. ISSN 0002-9890. JSTOR 2323918. 
  5. Deza, Elena; Deza, Michel Marie (2012). 《Figurate Numbers》 (영어). World Scientific. ISBN 978-981-4355-48-3. 

외부 링크편집