유니터리 표현
군 표현론에서 유니터리 표현(unitary表現, 영어: unitary representation)은 모든 군 원소의 상이 어떤 복소수 힐베르트 공간 위의 유니터리 작용소를 이루는 군 표현이다.
정의
편집위상군 의 유니터리 표현은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
같은 위상군 의 두 유니터리 표현 , 사이의 유니터리 얽힘 연산자(영어: unitary intertwining operator)는 다음 조건을 만족시키는 유니터리 작용소 이다.
두 유니터리 표현 사이에 유니터리 얽힘 연산자가 존재한다면, 서로 유니터리 동치(영어: unitarily equivalent)라고 한다.
성질
편집제2 페터-바일 정리
편집위상군 의 유니터리 표현 이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 부분 복소수 벡터 공간 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
- 의 작용에 대하여 불변이다. (즉, 임의의 에 대하여 이다.)
그렇다면 와 역시 닫힌 불변 부분 공간이며,
로 분해된다.
증명:
가 불변 공간임을 보이려면, 임의의 및 및 에 대하여,
임을 보이면 족하다. 그런데 유니터리 표현의 정의에 의하여
이다. 특히, 역시 닫힌 불변 부분 공간이다. 이에 따라: 이다.
사실, 다음과 같은 제2 페터-바일 정리가 성립한다.
여기서 는 힐베르트 공간의 직합, 즉 (대수적) 직합의 완비화이다.
제1 페터-바일 정리
편집콤팩트 위상군 위의 르베그 공간 를 생각하자. 여기서 제곱 적분 가능이란 하르 측도에 따른 것이며, 편의상 로 규격화하자.
의 임의의 유한 차원 유니터리 기약 표현 에 대하여, 에 임의의 기저를 잡아 행렬 성분들 ( )을 정의할 수 있다. 페터-바일 정리(Peter-Weyl定理, 영어: Peter–Weyl theorem)에 따르면, 함수들
은 의 정규 직교 기저를 이룬다.
역사
편집페터-바일 정리는 프리츠 페터(독일어: Fritz Peter)와 헤르만 바일이 1927년에 증명하였다.[1]
각주
편집- ↑ Peter, Fritz; Weyl, H. (1927). “Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 97: 737–755. doi:10.1007/BF01447892.
- Knapp, Anthony (1986). 《Representation theory of semisimple groups》 (영어). Princeton University Press. ISBN 0-691-09089-0.
- Bump, Daniel (2004). 《Lie groups》 (영어). Springer. ISBN 0-387-21154-3.
- 계승혁 (1998년 4월). 《군과 조화해석》. 대우학술총서 자연과학 120. 민음사. ISBN 89-3743620-5.
외부 링크
편집- “Unitary representation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Peter-Weyl theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Unitary representation”. 《nLab》 (영어).
- “Super-unitary representation”. 《nLab》 (영어).
- “Unitary representation of the Poincaré group”. 《nLab》 (영어).
- “Unitary representation of the super Poincaré group”. 《nLab》 (영어).
- Vogan, David A., Jr. “Computing the unitary dual” (PDF) (영어).