펠 수

영국의 수학자 존 펠(John Pell)의 이름에서 명명되는 펠 수열 또는 펠 시퀸스(Pell Sequece)는 펠 방정식 또는 ${\sqrt {2}}$ 의 근사 값을 구하는 과정에서 출현하는 수학 상수 펠 수를 분모로 갖는 분수의 순서있는 나열이다.

펠 수열(Pell Sequence)은 펠 방정식

x^{2}-2y^{2}=\pm 1

을 만족하는 해의 순서있는 나열이다.

따라서, 펠 방정식의 보다 더 큰 해의 정보는 ${\sqrt {2}}$ 의 값에 보다 접근하게 된다.

펠 수열 생성 수식 편집

펠 수열(Pell sequence)은 펠 방정식의 해들의 순서있는 나열이며 다음과 같다,

펠 방정식 $x^{2}-2y^{2}=\pm 1$ 에서 ${x \over y}$ 이다.

{\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\cdots ,{577 \over 408},\cdots ,{665857 \over 470832},\cdots ,{886731088897 \over 627013566048},\cdots

또한

x_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}

y_{n}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2{\sqrt {2}}}}

또한

x_{n}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}+{{\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}=\left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}+\left({{1-{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}

\left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)=\alpha

를 예약하면,

\quad =\alpha ^{n}+(-\alpha )^{-n}=\left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}+\left({{1-{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}

\alpha ^{n}+(1-\alpha )^{n}=L_{n}

이렇게 루카스 시퀸스(루카스 수열)와 연관된다.

펠 수 편집

펠 수는 펠 방정식의 해 ${x \over y}$ 에서, 분모인 ${y}$ 이다.

1,2,5,{12},{29},{70},\dots

약한 펠 수열 생성함수 편집

펠 수열은 ${\sqrt {2}}$ 의 근사 값을 구하는 과정에서 빠르게 나타나는 수열이기도 하다. 이것은 근삿값을 구하는 방법인 바빌로니아 법으로부터 찾아져지는 분수들이다. 따라서 바빌로니아 법 같은 근삿값을 구하는 함수는 ${\sqrt {2}}$ 에 대해서 펠 수열을 구하는 생성함수가 될 수 있다.