E
{\displaystyle E}
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
n
{\displaystyle n}
벡터 다발 이라고 하자. 실수 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}
주다발 인 틀다발
P
↠
M
{\displaystyle P\twoheadrightarrow M}
연관 벡터 다발 이라고 하자.
P
{\displaystyle P}
주곡률
F
{\displaystyle F}
리 대수
s
o
(
dim
E
)
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(\dim E)}
2차 미분 형식 이다.
그렇다면 다음과 같은 생성 함수 를 생각할 수 있다.
det
(
I
+
t
F
/
2
π
)
=
∑
k
=
0
∞
t
2
k
p
k
(
E
)
{\displaystyle \det(I+tF/2\pi )=\sum _{k=0}^{\infty }t^{2k}p_{k}(E)}
우변에서
k
{\displaystyle k}
F
{\displaystyle F}
p
k
{\displaystyle p_{k}}
미분 형식 으로 간주하면
E
{\displaystyle E}
틀다발 에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 는 천-베유 이론 (Chern–Weil theory )에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소
p
k
∈
H
4
k
(
M
,
Q
)
{\displaystyle p_{k}\in H^{4k}(M,\mathbb {Q} )}
E
{\displaystyle E}
k
{\displaystyle k}
폰트랴긴 특성류 라고 한다.
총 폰트랴긴 특성류 (total Pontryagin class )
p
{\displaystyle p}
p
=
∑
k
=
0
∞
p
k
(
E
)
=
det
(
I
+
F
/
2
π
)
∈
H
∙
(
M
,
Q
)
{\displaystyle p=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(E)=\det(I+F/2\pi )\in H^{\bullet }(M,\mathbb {Q} )}
이다.
O
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n)}
주다발
P
{\displaystyle P}
분류 공간
BO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {BO} (n)}
연속 함수
f
:
M
→
BO
(
n
)
{\displaystyle f\colon M\to \operatorname {BO} (n)}
의 호모토피류 로 분류된다. 그런데 직교군 은 유니터리 군 의 부분군이다.
ι
:
O
(
n
)
↪
U
(
n
)
{\displaystyle \iota \colon \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n)}
따라서 이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다.
B
ι
:
BO
(
n
)
→
BU
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} \iota \colon \operatorname {BO} (n)\to \operatorname {BU} (n)}
(이는 실수 벡터 다발 의 복소화에 해당한다.)
BU
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {BU} (n)}
천 특성류 에 해당하는 코호몰로지류
c
k
∈
H
2
k
(
BU
(
n
)
)
{\displaystyle c_{k}\in \operatorname {H} ^{2k}(\operatorname {BU} (n))}
가 존재한다. 이를 당김 으로서
BO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {BO} (n)}
(
B
ι
)
∗
c
2
k
+
1
=
0
∈
H
4
k
+
2
(
BO
(
n
)
)
{\displaystyle (\mathrm {B} \iota )^{*}c_{2k+1}=0\in \operatorname {H} ^{4k+2}(\operatorname {BO} (n))}
이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류 만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) 폰트랴긴 특성류 라고 한다.
p
k
=
(
−
)
k
(
B
ι
)
∗
c
2
k
∈
H
4
k
(
BO
(
n
)
)
{\displaystyle p_{k}=(-)^{k}(\mathrm {B} \iota )^{*}c_{2k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))}
이 경우,
E
{\displaystyle E}
당김
p
k
(
E
)
=
f
∗
p
k
∈
H
4
k
(
M
)
{\displaystyle p_{k}(E)=f^{*}p_{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}
이다.
서로 위상 동형 인 다양체 는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다.[ 3] 매끄러움 구조 에 의존하지 않는다.
폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발 에 대하여 정의되는 특성류 이고, 천 특성류 는 복소수 벡터 다발 에 대하여 정의되는 특성류 이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다.
직교군 과 유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.
O
(
n
)
↪
ι
U
(
n
)
↪
ι
′
O
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n)\,{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {U} (n)\,{\overset {\iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {O} (2n)}
이는 분류 공간 사이의 연속 함수 (의 호모토피류 )
BO
(
n
)
↪
B
ι
BU
(
n
)
↪
B
ι
′
BO
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {BO} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota }{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BU} (n)\,{\overset {\mathrm {B} \iota '}{\hookrightarrow }}\,\operatorname {BO} (2n)}
를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다.
p
k
=
(
−
)
(
B
ι
)
∗
c
k
∈
H
4
k
(
BO
(
n
)
)
{\displaystyle \operatorname {p} _{k}=(-)(\mathrm {B} \iota )^{*}\operatorname {c} _{k}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BO} (n))}
(
−
)
k
(
B
ι
′
)
∗
p
k
=
∑
i
+
j
=
2
k
(
−
)
i
c
i
c
j
∈
H
4
k
(
BU
(
n
)
)
{\displaystyle (-)^{k}(\mathrm {B} \iota ')^{*}\operatorname {p} _{k}=\sum _{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} _{i}\operatorname {c} _{j}\in \operatorname {H} ^{4k}(\operatorname {BU} (n))}
이를 벡터 다발 의 언어로 번역하면 다음과 같다.
사상
B
ι
:
BO
(
n
)
→
BU
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} \iota \colon \operatorname {BO} (n)\to \operatorname {BU} (n)}
벡터 다발 의 복소화에 해당한다.
사상
B
ι
′
:
BU
(
n
)
→
BO
(
2
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} \iota '\colon \operatorname {BU} (n)\to \operatorname {BO} (2n)}
복소수 벡터 다발 에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다. 즉, 실수 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
E
⊗
C
{\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }
천 특성류 로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
p
k
(
E
)
=
(
−
)
k
c
2
k
(
E
⊗
C
)
∈
H
4
k
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {p} _{k}(E)=(-)^{k}\operatorname {c} _{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}
천 특성류
c
k
{\displaystyle c_{k}}
2
k
{\displaystyle 2k}
코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류
p
k
{\displaystyle p_{k}}
4
k
{\displaystyle 4k}
코호몰로지 원소이다. (
E
⊗
C
{\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }
천 특성류 는 슈티펠-휘트니 특성류 으로 나타낼 수 있다.)
반대로, 복소수 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
천 특성류 로부터 다음과 같이 주어진다.
p
k
(
E
)
=
(
−
)
k
∑
i
+
j
=
2
k
(
−
)
i
c
i
(
E
)
c
j
(
E
)
∈
H
4
k
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {p} _{k}(E)=(-)^{k}\sum _{i+j=2k}(-)^{i}\operatorname {c} _{i}(E)\operatorname {c} _{j}(E)\in \operatorname {H} ^{4k}(M)}
M
{\displaystyle M}
n
{\displaystyle n}
벡터 다발
E
{\displaystyle E}
스핀 구조 특수 직교군 에서 스핀 군 으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.
BSpin
(
n
)
↗
B
q
↓
B
q
M
→
BSO
(
n
)
{\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BSpin} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}}
여기서
B
q
{\displaystyle \mathrm {B} q}
q
:
Spin
(
n
)
↠
SO
(
n
)
{\displaystyle q\colon \operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}
에 대응하는, 분류 공간 사이의 사상
B
q
:
BSpin
(
n
)
→
BSO
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {B} q\colon \operatorname {BSpin} (n)\to \operatorname {BSO} (n)}
이다.
이 경우, 스핀 군 은 단일 연결 단순 리 군 이므로
π
i
(
Spin
(
n
)
)
=
0
(
i
<
3
)
{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Spin} (n))=0\qquad (i<3)}
π
3
(
Spin
(
n
)
)
=
Z
{\displaystyle \pi _{3}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} }
이다. 따라서, 스핀 군의 분류 공간 의 호모토피 군 은
π
i
(
BSpin
(
n
)
)
=
0
(
i
<
4
)
{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {BSpin} (n))=0\qquad (i<4)}
π
4
(
Spin
(
n
)
)
=
Z
{\displaystyle \pi _{4}(\operatorname {Spin} (n))=\mathbb {Z} }
이므로, 후레비치 준동형 이 동형 이며,
H
4
(
BSpin
(
n
)
)
=
Z
{\displaystyle \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))=\mathbb {Z} }
이다. 따라서, 그 생성원을
α
{\displaystyle \alpha }
(
B
q
)
∗
p
1
=
2
α
∈
H
4
(
BSpin
(
n
)
)
{\displaystyle (\mathrm {B} q)^{*}\operatorname {p} _{1}=2\alpha \in \operatorname {H} ^{4}(\operatorname {BSpin} (n))}
임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여,
p
1
(
E
)
=
2
⋅
(
1
2
p
1
(
E
)
)
∈
2
H
4
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {p} _{1}(E)=2\cdot ({\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} _{1}(E))\in 2\operatorname {H} ^{4}(M)}
가 되는 특성류
1
2
p
1
(
E
)
∈
H
4
(
M
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {p} _{1}(E)\in \operatorname {H} ^{4}(M)}
를 정의할 수 있다. 이를 1차 분수 폰트랴긴 특성류 (一次分數Понтрягин特性類, 영어 : first fractional Pontryagin class )라고 한다.[ 4] :§4.4.1
마찬가지로, 만약
E
{\displaystyle E}
끈 구조 (영어 : string structure )를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림
BString
(
n
)
↗
B
q
↓
B
q
M
→
BSO
(
n
)
{\displaystyle {\begin{matrix}&&\operatorname {BString} (n)\\&\nearrow &\scriptstyle {\!\!\!\!\!\color {White}\mathrm {B} q\;}\downarrow \scriptstyle {\;\mathrm {B} q\!\!\!\!\!}\\M&\to &\operatorname {BSO} (n)\\\end{matrix}}}
이 존재한다면, 2차 분수 폰트랴긴 특성류 (二次分數Понтрягин特性類, 영어 : second fractional Pontryagin class )
1
6
p
2
(
E
)
∈
H
8
(
E
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\operatorname {p} _{2}(E)\in \operatorname {H} ^{8}(E)}
가 존재한다.[ 4] :§4.4.2
String
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {String} (n)}
끈 군 이다.
