폰트랴긴 특성류

위상수학에서, 폰트랴긴 특성류(Понтрягин特性類, 영어: Pontryagin class)는 실수 벡터 다발특성류의 하나다.[1][2] 그 복소화의 천 특성류로 정의할 수 있다.

정의편집

 매끄러운 다양체   위의  차원 실수 벡터 다발이라고 하자. 실수 벡터 다발   -주다발틀다발  연관 벡터 다발이라고 하자.

구체적 정의편집

 주곡률  를 정의할 수 있다. 이는 리 대수  의 값을 갖는 2차 미분 형식이다.

그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.

 .

우변에서  가 홀수인 항들은  의 반대칭성에 의하여 사라진다.  미분 형식으로 간주하면  틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지천-베유 이론(Chern–Weil theory)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소  는 실수 벡터 다발  의 위상수학적 불변량이다. 이를  폰트랴긴 특성류라고 한다.

총 폰트랴긴 특성류(total Pontryagin class)  는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉

 

이다.

추상적 정의편집

 -주다발  분류 공간  으로 가는 연속 함수

 

호모토피류로 분류된다. 그런데 직교군유니터리 군의 부분군이다.

 

따라서 이에 대응되는 분류 공간 사이의 함수가 존재한다.

 

(이는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.)   위에는 천 특성류에 해당하는 코호몰로지류

 

가 존재한다. 이를 당김으로서   위에 정의할 수 있는데, 이 경우

 

이다. 즉, 짝수 차수 천 특성류만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) 폰트랴긴 특성류라고 한다.

 

이 경우,  의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 당김

 

이다.

성질편집

서로 위상 동형다양체는 같은 유리수 폰트랴긴 특성류를 갖는다.[3] 즉, 폰트랴긴 특성류는 매끄러움 구조에 의존하지 않는다.

천 특성류와의 관계편집

폰트랴긴 특성류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 특성류복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다.

직교군유니터리 군 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.

 

이는 분류 공간 사이의 연속 함수(의 호모토피류)

 

를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다.

 
 

이를 벡터 다발의 언어로 번역하면 다음과 같다.

  • 사상  는 실수 벡터 다발의 복소화에 해당한다.
  • 사상  복소수 벡터 다발에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다.

즉, 실수 벡터 다발  의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화  천 특성류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

천 특성류   코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 특성류   코호몰로지 원소이다. ( 의 홀수차 천 특성류슈티펠-휘트니 특성류으로 나타낼 수 있다.)

반대로, 복소수 벡터 다발  의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 천 특성류로부터 다음과 같이 주어진다.

 

분수 폰트랴긴 특성류편집

  위의  차원 유향 실수 벡터 다발  스핀 구조는 그 구조군을 특수 직교군에서 스핀 군으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.

 

여기서  는 몫사상

 

에 대응하는, 분류 공간 사이의 사상

 

이다.

이 경우, 스핀 군단일 연결 단순 리 군이므로

 
 

이다. 따라서, 스핀 군의 분류 공간호모토피 군

 
 

이므로, 후레비치 준동형동형이며,

 

이다. 따라서, 그 생성원을  라고 하자. 그렇다면,

 

임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여,

 

가 되는 특성류

 

를 정의할 수 있다. 이를 1차 분수 폰트랴긴 특성류(一次分數Понтрягин特性類, 영어: first fractional Pontryagin class)라고 한다.[4]:§4.4.1

마찬가지로, 만약  끈 구조(영어: string structure)를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림

 

이 존재한다면, 2차 분수 폰트랴긴 특성류(二次分數Понтрягин特性類, 영어: second fractional Pontryagin class)

 

가 존재한다.[4]:§4.4.2 여기서  끈 군이다.

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낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.

 
 
 

역사편집

러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1947년에 정의하였다.[5] 세르게이 페트로비치 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.[3]

참고 문헌편집

  1. Milnor, John Willard; Stasheff, James Dillon (1974). 《Characteristic classes》. Annals of Mathematics Studies (영어) 76. Princeton University Press. ISBN 978-069108122-9. 
  2. Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector bundles and K-Theory》 2.1판. 
  3. Новиков, С. П. (1966). “О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы)”. 《Известия Академии наук СССР. Отделение математических и естественных наук. Серия математическая》 (러시아어) 30 (1): 207–246. MR 196765. Zbl 0199.58202. 
  4. “Fivebrane structures” (영어). arXiv:0805.0564. 
  5. Понтрягин, Лев С. (1947). “Характеристические циклы дифференцируемых многообразий”. 《Математический сборник》 (러시아어) 21 (2): 233–284. MR 22667. Zbl 0037.10305. 

외부 링크편집