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폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론

공리적 집합론

수학기초론에서, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(von Neumann–Bernays–Gödel集合論, 영어: von Neumann–Bernays–Gödel set theory, 약자 NBG 또는 NGB)은 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 보존적 확장 형태의 공리적 집합론이다. 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC(선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다. 또한 재귀적 정의를 허용할 경우 NBG는 모스-켈리 집합론(Morse–Kelley set theory, 약자 MK)가 된다. NBG는 ZFC나 MK와 다르게 유한적으로 공리화가능(finitely axiomatizable)하다.

목차

모임편집

NBG는 집합이 아닌 모임, 곧 고유 모임(proper class)을 다루고 있는 것이 특징적이다. 가장 핵심적인 모임 존재 정리(class existence theorem)는, 어떤 논리식의 모든 양화자의 범위가 집합에만 국한된다면 해당 식을 만족시키는 집합들로 구성되는 모임이 존재한다는 내용을 담고 있다. 이 모임은 그 논리식의 단계적 구축을 모임들에 반영함으로써 만들어진다. 모든 집합론적 식들은 두 종류의 원자 논리식(구성원소와 등식관계)과 유한한 개수의 논리기호로부터 이루어지므로, 이들을 만족시키는 모임을 구성하는 데에는 유한한 공리만 있으면 충분하며, 이것이 NBG가 유한적으로 공리화될 수 있는 이유이다. NGB에서 모임의 개념은 다른 '구성' 과정에도 쓰이는데, 집합론적 패러독스들을 다루고, ZFC의 선택공리보다 더 강력한 '전역 선택 공리'(axiom of global choice)를 진술하는 데에도 사용된다.

역사편집

1925년에 존 폰 노이만이 함수와 변수(argument)의 개념을 사용하여 모임의 개념을 정의하여 집합론에 도입하는 시도를 행하였다.[1] 이후 폴 베르나이스가 모임과 집합을 기초적 개념으로 받아들인 채 폰 노이만의 이론을 재공식화하였다.[2] 쿠르트 괴델은 그의 선택공리상대적 무모순성 증명과 일반화된 연속체 가설로 베르나이스의 이론을 단순화하였다.[3]

각주편집

  1. von Neumann 1925, 221–224, 226, 229쪽; English translation: van Heijenoort 2002b, 396–398, 400, 403쪽.
  2. Bernays 1937, pp. 66–67.
  3. Gödel 1940.

외부 링크편집

  • NBG. 《nLab》 (영어)