폴란드 공간
일반위상수학에서 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술적 집합론을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다.
정의
편집위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 폴란드 공간이라고 한다.
- 제2 가산 완비 거리화 가능 공간이다.[1]:228
- 분해 가능 완비 거리화 가능 공간이다.[2]:13, Definition 3.1
- 의 Gδ 집합과 위상 동형이다.[3]:55 (힐베르트 입방체(영어: Hilbert cube) 는 실수의 닫힌구간 의 가산 무한 곱공간이다.)
- 의 닫힌집합과 위상 동형이다.
마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체 또는 는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다.
폴란드 군(Poland群, 영어: Polish group)은 폴란드 공간인 위상군이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.
성질
편집연산에 대한 닫힘
편집마주르키에비치 정리(-定理, 영어: Mazurkiewicz theorem)에 따르면, 폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:230[2]:17, Theorem 3.11
- 역시 폴란드 공간이다.
- 는 의 Gδ 집합이다.
특히, 모든 열린집합과 모든 닫힌집합은 Gδ 집합이므로, 폴란드 공간의 열린집합 또는 닫힌집합은 폴란드 공간이다.
폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
하우스도르프 공간 속의 부분 집합들 이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 교집합 역시 폴란드 공간을 이룬다.
위상수학적 성질
편집임의의 위상 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
- 국소 콤팩트 폴란드 공간이다.[2]:29, Theorem 5.3(iv)
- 제2 가산 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.[2]:29, Theorem 5.3(ii)
- 콤팩트 거리화 가능 공간이다.[2]:29, Theorem 5.3(iii)
- 콤팩트 거리화 가능 공간의 열린집합과 위상 동형이다.[2]:29, Theorem 5.3(v)
그러나 폴란드 공간이 국소 콤팩트 공간일 필요는 없다.
폴란드 공간은 제2 가산 공간이므로, 칸토어-벤딕손 정리가 성립한다.
베르 공간 은 가산 무한 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 칸토어 공간 은 크기 2의 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이 경우,
- 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 이라면, 연속 전사 함수 가 존재한다.[2]:38, Theorem 7.9
- 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 의 어떤 닫힌집합 로 가는 연속 전단사 함수 가 존재한다.[2]:38, Theorem 7.9 (그러나 이는 위상 동형 사상이 아닐 수 있다.)
- 임의의 폴란드 공간 에 대하여, 만약 가 비가산 집합이라면, 는 과 위상 동형인 부분 집합 을 갖는다.
폴란드 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:40, Exercise 7.15
집합론적 성질
편집임의의 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다.
다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) 인 폴란드 공간 는 존재하지 않는다.[4]:§3.1
측도론적 성질
편집폴란드 공간에 보렐 시그마 대수를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 (가측 공간으로서) 동형인 가측 공간을 표준 보렐 공간(標準Borel空間, 영어: standard Borel space)이라고 한다.
두 표준 보렐 공간 , 에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.[4]:§3.1.2
모든 표준 보렐 공간은 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.[4]:§3.1.2 (가측 공간으로서의 동형은 위상 동형보다 더 약하다.)
- 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선
- 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합
- 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 인 유한 집합 ( )
예
편집(이는 비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.)
모든 유클리드 공간 은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.[2]:14, §3.A
힐베르트 입방체(영어: Hilbert cube) 는 실수의 닫힌구간 의 가산 무한 곱공간이며, 이는 폴란드 공간이다.
베르 공간 은 가산 무한 이산 공간 의 가산 무한 개 곱공간이다. 이는 무리수의 위상 공간 과 위상 동형이다.
역사
편집바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.[1]:228
마주르키에비치 정리는 스테판 마주르키에비치가 증명하였다.
각주
편집- ↑ 가 나 다 라 마 김승욱 (2004). 《위상수학: 집합론을 중심으로》 2판. 경문사. ISBN 89-7282-587-5. 2014년 11월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 25일에 확인함.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.
- ↑ Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. MR 1619545. Zbl 0903.28001.
- ↑ 가 나 다 Berberian, S. K. (1988). 〈Borel spaces〉 (PDF). 《Functional analysis and its applications》 (영어). 134–197쪽. Zbl 0806.54031.
외부 링크
편집- “Descriptive set theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Polish space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Polish space”. 《nLab》 (영어).
- “Definition: Polish space”. 《ProofWiki》 (영어).
- Marker, David (2002). “Descriptive set theory” (PDF) (영어).