폴란드 공간

일반위상수학에서 폴란드 공간(Poland空間, 영어: Polish space)은 지나치게 크지 않으며, 완비 거리 공간과 유사하여 측도론 및 기술적 집합론을 쉽게 전개할 수 있는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 폴란드 공간이라고 한다.

• 제2 가산 완비 거리화 가능 공간이다.^:228
• 분해 가능 완비 거리화 가능 공간이다.^{:13, Definition 3.1}
• $[0,1]^{\aleph _{0}}$의 G_δ 집합과 위상 동형이다.^:55 (힐베르트 입방체(영어: Hilbert cube) $[0,1]^{\aleph _{0}}$는 실수의 닫힌구간 $[0,1]$의 가산 무한 곱공간이다.)
• $\mathbb {R} ^{\aleph _{0}}$의 닫힌집합과 위상 동형이다.

마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체 또는 $\mathbb {R} ^{\aleph _{0}}$는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다.

폴란드 군(Poland群, 영어: Polish group)은 폴란드 공간인 위상군이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

성질

연산에 대한 닫힘

마주르키에비치 정리(-定理, 영어: Mazurkiewicz theorem)에 따르면, 폴란드 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:230:17, Theorem 3.11}

• $A$ 역시 폴란드 공간이다.
• $A$는 $X$의 G_δ 집합이다.

특히, 모든 열린집합과 모든 닫힌집합은 G_δ 집합이므로, 폴란드 공간의 열린집합 또는 닫힌집합은 폴란드 공간이다.

폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.

• 가산 개의 폴란드 공간들의 곱공간은 폴란드 공간이다.^:229
• 가산 개의 폴란드 공간들의 분리합집합은 폴란드 공간이다.^:229

하우스도르프 공간 $X$ 속의 부분 집합들 $(A_{i})_{i\in \mathbb {N} }$이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 교집합 $\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}$ 역시 폴란드 공간을 이룬다.

위상수학적 성질

임의의 위상 공간에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 국소 콤팩트 폴란드 공간이다.^{:29, Theorem 5.3(iv)}
• 제2 가산 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.^{:29, Theorem 5.3(ii)}
• 콤팩트 거리화 가능 공간이다.^{:29, Theorem 5.3(iii)}
• 콤팩트 거리화 가능 공간의 열린집합과 위상 동형이다.^{:29, Theorem 5.3(v)}

그러나 폴란드 공간이 국소 콤팩트 공간일 필요는 없다.

폴란드 공간은 제2 가산 공간이므로, 칸토어-벤딕손 정리가 성립한다.

베르 공간 $\mathbb {N} ^{\aleph _{0}}$은 가산 무한 이산 공간 $\mathbb {N}$의 가산 무한 개 곱공간이다. 칸토어 공간 $\{0,1\}^{\aleph _{0}}$은 크기 2의 이산 공간 $\{0,1\}$의 가산 무한 개 곱공간이다. 이 경우,

• 임의의 폴란드 공간 $X$에 대하여, 만약 $X\neq \varnothing$이라면, 연속 전사 함수 $\mathbb {N} ^{\aleph _{0}}\to X$가 존재한다.^{:38, Theorem 7.9}
• 임의의 폴란드 공간 $X$에 대하여, $\mathbb {N} ^{\aleph _{0}}$의 어떤 닫힌집합 $F\subseteq \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}$로 가는 연속 전단사 함수 $F\to X$가 존재한다.^{:38, Theorem 7.9} (그러나 이는 위상 동형 사상이 아닐 수 있다.)
• 임의의 폴란드 공간 $X$에 대하여, 만약 $X$가 비가산 집합이라면, $X$는 $\{0,1\}^{\aleph _{0}}$과 위상 동형인 부분 집합 $A\subseteq X$을 갖는다.

폴란드 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:40, Exercise 7.15}

• 고립점을 갖지 않으며 공집합이 아니다.
• 연속 전사 함수 $f\colon \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}\to X$가 존재한다.

집합론적 성질

임의의 폴란드 공간의 크기는 다음 가운데 하나이다.

$|X|\in \{0,1,2,\dots ,\aleph _{0},2^{\aleph _{0}}\}$

다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이며, 또한 (연속체 가설과 독립적으로) $\aleph _{0}<|X|<2^{\aleph _{0}}$인 폴란드 공간 $X$는 존재하지 않는다.^:§3.1

측도론적 성질

폴란드 공간에 보렐 시그마 대수를 부여하면, 이는 가측 공간을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 (가측 공간으로서) 동형인 가측 공간을 표준 보렐 공간(標準Borel空間, 영어: standard Borel space)이라고 한다.

두 표준 보렐 공간 $X$, $Y$에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.^:§3.1.2

• $X$와 $Y$는 서로 동형이다. 즉, $X$와 $Y$ 사이에 전단사 함수 $f\colon X\to Y$가 존재하며, 이는 $X$와 $Y$의 보렐 시그마 대수 사이의 동형 $f^{*}\colon {\mathcal {B}}(X)\to {\mathcal {B}}(Y)$을 유도한다.
• $|X|=|Y|$이다. 즉, $X$와 $Y$의 크기가 같다.

모든 표준 보렐 공간은 다음 가측 공간 가운데 정확히 하나와 동형이다.^:§3.1.2 (가측 공간으로서의 동형은 위상 동형보다 더 약하다.)

• 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$
• 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 $(\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))$
• 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 $n$인 유한 집합 $(\{1,\dots ,n\},{\mathcal {P}}(\{1,\dots ,n\}))$ ($n=0,1,2,\dots$)

예

이산 공간에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 가산 집합이다.
• 제2 가산 공간이다.
• 폴란드 공간이다.

(이는 비가산 이산 공간은 제2 가산 공간이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.)

모든 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 분해 가능 바나흐 공간은 폴란드 공간이다.^{:14, §3.A}

힐베르트 입방체(영어: Hilbert cube) $[0,1]^{\aleph _{0}}$는 실수의 닫힌구간 $[0,1]$의 가산 무한 곱공간이며, 이는 폴란드 공간이다.

베르 공간 $\mathbb {N} ^{\aleph _{0}}$은 가산 무한 이산 공간 $\mathbb {N}$의 가산 무한 개 곱공간이다. 이는 무리수의 위상 공간 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$과 위상 동형이다.

칸토어 공간 $\{0,1\}^{\aleph _{0}}$은 크기 2의 이산 공간 $\{0,1\}$의 가산 무한 개 곱공간이다.

역사

바츠와프 시에르핀스키 · 카지미에시 쿠라토프스키 · 알프레트 타르스키 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 폴란드의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.^:228

마주르키에비치 정리는 스테판 마주르키에비치가 증명하였다.

외부 링크

• “Descriptive set theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Polish space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Polish space”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: Polish space”. 《ProofWiki》 (영어). 
• Marker, David (2002). “Descriptive set theory” (PDF) (영어).