표준 편차

각 밴드의 너비가 1 표준편차인 정규분포의 구상. 68-95-99.7 규칙 참고.

예측값 0과 표준편차 1을 나타낸 정규분포의 누적 확률.

표준 편차(標準 偏差, 영어: standard deviation)는 자료의 산포도를 나타내는 수치로, 분산의 양의 제곱근으로 정의된다. 표준편차가 작을수록 평균값에서 변량들의 거리가 가깝다. 통계학과 확률에서 주로 확률의 분포, 확률변수 혹은 측정된 인구나 중복집합을 나타낸다. 일반적으로 모집단의 표준편차는 $\sigma$(시그마)로, 표본의 표준편차는 $s$(에스)로 나타낸다. 관례에 따라 모집단은 그리스문자로 표본은 영어 알파벳으로 표기한다.

편차(deviation)는 관측값에서 평균 또는 중앙값을 뺀 것이다.

분산(variance)은 관측값에서 평균을 뺀 값을 제곱하고, 그것을 모두 더한 후 전체 개수로 나눠서 구한다. 즉, 차이값의 제곱의 평균이다. 관측값에서 평균을 뺀 값인 편차를 모두 더하면 0이 나오므로 제곱해서 더한다.

표준 편차(standard deviation)는 분산을 제곱근한 것이다. 제곱해서 값이 부풀려진 분산을 제곱근해서 다시 원래 크기로 만들어준다.

모 표준 편차(population standard deviation) σ는 모집단의 표준 편차이다. 모 분산 σ²에 제곱근을 씌워서 구한다.

표본 표준 편차(sample standard deviation) s는 표본의 표준 편차이다. 표본 분산 s²에 제곱근을 씌워서 구한다.

정의

확률변수 $X$의 흩어짐을 재는 데 사용되는 모 집단의 표준 편차 $\sigma _{X}$ 는

$\sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}$

로 정의된다.

통계적 추정

동일 경중률인 경우

경중률이 동일한 경우 표본 내의 어떤 변인 x가 가지는 모집단 표준편차의 추정치 s는 다음과 같다.

$s=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma (x-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma \nu ^{2}}{n-1}}}$

$s$ : 표본의 표준편차

$x$ : 변인

${\overline {x}}$ : 표본의 평균

$n$ : 표본의 크기

$\nu$ : 잔차

분모를 n-1로 나누는 이유는 분산을 계산할 때 모평균이 아닌 표본 평균을 사용했기 때문에 모집단의 편의된 추정값(biased estimator)이 되므로, 분산이 불편 추정량(unbiased estimator)이 되도록 하기 위해서이다. n-1을 자유도(degree of freedom)이라고 한다.

경중률이 다른 경우

경중률을 w라 할 때, $\Sigma w=n$인 경우에는 표준편차를 다음과 같이 구한다.

$s=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w(x-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w\nu ^{2}}{n-1}}}$

같이 보기

• 편차
• 표준 점수
• 평균편차
• 68-95-99.7 규칙(경험적인 규칙)
• 표준오차