표준 중력 변수

천체역학에서, 천체의 표준 중력 변수(standard gravitational parameter) μ는 천체의 중력 상수 $G$와 질량 $M$의 곱으로 정의한다.

천체	μ (m3 s−2)
태양	1.327 124 400 18(9)×10^20
수성	2.203 2(9)×10^13
금성	3.248 59(9)×10^14
지구	3.986 004 418(9)×10^14
달	4.904 869 5(9)×10^12
화성	4.282 8(9)×10^13
세레스	6.263 25×10^10
목성	1.266 865 34(9)×10^17
토성	3.793 118 7(9)×10^16
천왕성	5.793 939(9)×10^15
해왕성	6.836 529(9)×10^15
명왕성	8.71(9)×10^11
에리스	1.108(9)×10^12

$\mu =GM\$

태양계의 몇몇 천체에서는 μ의 값이 G나 M의 값보다 더 정확하게 알려져 있다. 표준 중력 변수의 국제단위계 단위는 m³ s⁻²이다.

중심체를 돌고 있는 작은 물체

궤도의 중심체는 그 천체의 질량 M이 궤도를 도는 천체의 질량 m보다 훨씬 큰 천체(M ≫ m)로써 정의될 수 있다. 이 근사치는 태양을 도는 행성이나 대부분의 위성에 대한 방정식을 크게 단순화시키고, 현재 표준으로 사용되고 있다. 만유인력의 법칙에 기초하여 물체 간 거리를 r로 두면, 작은 물체에 가해지는 힘은 다음과 같다.

$F={\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {\mu m}{r^{2}}}$

따라서 G와 M의 값은 작은 물체의 움직임을 예측하는 데 필요하다. 하지만 역으로 작은 천체의 궤도를 측정할 때는 G와 M이 분리되지 않고 바로 μ를 사용할 수 있다. 중력 상수인 G는 높은 정밀도로 측정하기 어렵지만, 적어도 태양계 천체의 궤도는 매우 정밀히 측정 가능하며 μ의 값을 정밀하게 결정하는 데 사용 가능하다.

중심체에 대하여 원 궤도를 돌고 있는 물체의 경우는 다음과 같다.

$\mu =rv^{2}=r^{3}\omega ^{2}=4\pi ^{2}r^{3}/T^{2}\$

r은 궤도 반지름이고, v는 공전 속도, ω는 각속도이며, T는 공전 주기이다.

이는 타원 궤도를 고려하여 일반화될 수 있다.

$\mu =4\pi ^{2}a^{3}/T^{2}\$

a는 궤도 긴반지름이고, 이는 케플러의 제3법칙에 해당된다.

포물선에서는 rv²는 상수이며, 2μ와 같다. 타원 또는 쌍곡선 궤도의 경우 μ = 2a|ε|가 되며, ε는 고유 궤도 에너지를 의미한다.

서로를 도는 두 천체

두 천체가 큰 천체와 작은 천체로 정의되면 안 되는 경우(이체 문제), 다음과 같이 정의된다.

• 벡터 r은 한 천체에서 다른 천체까지의 거리이다.
• r, v, 타원 궤도의 경우 a는 위에 따라 정의된다(따라서 r은 거리를 예기한다.).
• μ = Gm₁ + Gm₂ = μ₁ + μ₂, 여기서 m₁과 m₂는 두 천체의 질량이다.

따라서,

• 원 궤도의 경우, rv² = r³ω² = 4π²r³/T² = μ
• 타원 궤도의 경우, 4π²a³/T² = μ (a는 AU, T는 초 단위, M이 태양과의 상대적인 전체 질량이라고 한다면, a³/T² = M이 된다.)
• 포물선 궤도의 경우, rv²는 상수이고 2μ와 동일하다.
• 쌍곡선 궤도의 경우, μ는 고유 궤도 에너지의 절대값과 궤도 긴반지름을 2배 한 값을 곱한 값이다. 고유 궤도 에너지는 계의 총 에너지를 환산 질량으로 나눈 값으로 정의된다.

전문 용어 및 정확도

환산 질량 또한 μ로 표시된다.

지구의 중력 변수는 지심 중력 상수로 불리며, 값은 398 600.441 8±0.0008 km³ s⁻²이다. 따라서 불확실성은 1~500 000 000이고, 이는 G와 M을 각각 측정했을 때의 불확실성(각각 1~7000)보다는 매우 적다.

태양의 중력 변수는 태양 중력 상수 또는 태양의 지오퍼텐셜로 불리며, 1.327 124 400 18×10^²⁰m³ s⁻²와 같다.

각주

내용주

참조주