미분기하학 에서 푸아송 다양체 (Poisson多樣體, 영어 : Poisson manifold )는 푸아송 괄호를 정의할 수 있는 심플렉틱 다양체 의 일반화이다.[1] [2] [3] 심플렉틱 다양체와 달리 괄호가 일부 점에서 퇴화할 수 있다.
푸아송 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치 이다.
푸아송 괄호를 통한 정의
편집
체
K
{\displaystyle K}
위의 가환 결합 대수
A
{\displaystyle A}
위의 푸아송 괄호 (Poisson括弧, 영어 : Poisson bracket )는 다음 조건을 만족시키는
K
{\displaystyle K}
-리 대수 구조이다.
임의의
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
에 대하여,
(
A
,
{
a
,
−
}
)
{\displaystyle (A,\{a,-\})}
는
K
{\displaystyle K}
-미분 대수 이다. 즉, 다음 곱 규칙 이 성립한다.
{
a
,
b
c
}
=
{
a
,
b
}
c
+
b
{
a
,
c
}
∀
a
,
b
,
c
∈
A
{\displaystyle \{a,bc\}=\{a,b\}c+b\{a,c\}\qquad \forall a,b,c\in A}
푸아송 다양체 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
실수 가환 결합 대수
C
∞
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
위의 푸아송 괄호
{
,
}
{\displaystyle \{,\}}
푸아송 다양체
(
M
,
{
,
}
)
{\displaystyle (M,\{,\})}
위에서, 임의의
f
∈
C
∞
(
M
;
R
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
에 대하여
{
f
,
−
}
{\displaystyle \{f,-\}}
는
M
{\displaystyle M}
위의 벡터장 을 이루며, 이러한 꼴의 벡터장 을 해밀턴 벡터장 이라고 한다.
X
=
{
f
,
−
}
{\displaystyle X=\{f,-\}}
라면
f
{\displaystyle f}
를
X
{\displaystyle X}
의 해밀토니언 (영어 : Hamiltonian )이라고 한다.
리 대수
C
∞
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
의 중심 의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 카시미르 함수 라고 한다. (이는 0차 푸아송 코호몰로지 에 해당한다.)
텐서장을 통한 정의
편집
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
위의 푸아송 텐서장 (Poisson tensor場, 영어 : Poisson tensor field )
π
{\displaystyle \pi }
는 다음 조건을 만족시키는 (2,0)차 텐서장 이다.
(반대칭성)
π
i
j
=
π
j
i
{\displaystyle \pi ^{ij}=\pi ^{ji}}
(멱영성)
[
π
,
π
]
=
0
{\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}
. 여기서
[
−
,
−
]
{\displaystyle [-,-]}
는 스하우턴-네이엔하위스 괄호 이다.
구체적으로, 이 경우 푸아송 괄호는
{
f
,
g
}
=
π
(
d
f
,
d
g
)
∀
f
,
g
∈
C
∞
(
M
;
R
)
{\displaystyle \{f,g\}=\pi (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
의 꼴로 주어진다.
여기서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호 가 0이 되는 것은 야코비 항등식 에 해당하며, 구체적으로 다음과 같다.
π
[
i
|
l
∂
l
π
|
j
k
]
=
0
{\displaystyle \pi ^{[i|l}\partial _{l}\pi ^{|jk]}=0}
여기서
[
.
.
.
]
{\displaystyle [...]}
는 지표
i
,
j
,
k
{\displaystyle i,j,k}
의 완전 반대칭화를 뜻한다. 즉,
π
i
l
∂
l
π
j
k
+
π
j
l
∂
l
π
k
i
+
π
k
l
∂
l
π
i
j
=
0
{\displaystyle \pi ^{il}\partial _{l}\pi ^{jk}+\pi ^{jl}\partial _{l}\pi ^{ki}+\pi ^{kl}\partial _{l}\pi ^{ij}=0}
이다.
리 준대수를 통한 정의
편집
푸아송 다양체 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
T
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}
위의 리 준대수 구조
♯
:
T
∗
M
→
T
M
{\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}
. 이 경우, 리 괄호 는 다음과 같다.
[
α
,
β
]
=
L
♯
α
β
−
L
♯
β
α
−
d
⟨
♯
α
,
β
⟩
∈
Ω
1
(
M
)
∀
α
,
β
∈
Ω
1
(
M
)
{\displaystyle [\alpha ,\beta ]={\mathcal {L}}_{\sharp \alpha }\beta -{\mathcal {L}}_{\sharp \beta }\alpha -\mathrm {d} \langle \sharp \alpha ,\beta \rangle \in \Omega ^{1}(M)\qquad \forall \alpha ,\beta \in \Omega ^{1}(M)}
여기서
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
은 1차 미분 형식 의 리 미분 이다.
이 정의에서의
♯
{\displaystyle \sharp }
는 음악 동형 을 통해 푸아송 텐서장
π
{\displaystyle \pi }
와 같은 데이터를 정의한다.
♯
:
T
∗
M
→
T
M
{\displaystyle \sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}
♯
:
α
↦
π
(
α
,
−
)
{\displaystyle \sharp \colon \alpha \mapsto \pi (\alpha ,-)}
이는 리만 다양체 나 심플렉틱 다양체 의 음악 동형 과 유사하지만, 한 방향으로만 가며, 일반적으로 벡터 다발의 동형 사상이 아니다. (즉,
♭
:
T
M
→
T
∗
M
{\displaystyle \flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}
사상이 표준적으로 존재하지 않는다.)
푸아송 사상
편집
두 푸아송 다양체
(
M
,
{
,
}
M
)
{\displaystyle (M,\{,\}_{M})}
,
(
N
,
{
,
}
N
)
{\displaystyle (N,\{,\}_{N})}
사이의 푸아송 사상 (Poisson寫像, 영어 : Poisson map )
ϕ
:
M
→
N
{\displaystyle \phi \colon M\to N}
은 매끄러운 함수 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
{
f
,
g
}
N
∘
ϕ
=
{
f
∘
ϕ
,
g
∘
ϕ
}
M
∀
f
,
g
∈
C
∞
(
N
,
R
)
{\displaystyle \{f,g\}_{N}\circ \phi =\{f\circ \phi ,g\circ \phi \}_{M}\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N,\mathbb {R} )}
푸아송 텐서장으로는
π
N
∘
ϕ
=
ϕ
∗
π
M
∈
Γ
∞
(
⋀
2
ϕ
∗
T
N
)
{\displaystyle \pi _{N}\circ \phi =\phi _{*}\pi _{M}\in \Gamma ^{\infty }\left(\bigwedge ^{2}\phi ^{*}\mathrm {T} N\right)}
이어야 한다. 여기서
ϕ
∗
{\displaystyle \phi _{*}}
는 (2,0)차 텐서장의 밂이다.
푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를
PoissDiff
{\displaystyle \operatorname {PoissDiff} }
라고 표기하자.
푸아송 사상 가운데 미분 동형 사상 을 이루는 것을 푸아송 미분 동형 사상 (Poisson微分同形寫像, 영어 : Poisson diffeomorphism, ichthyomorphism )이라고 한다. 이는
PoissDiff
{\displaystyle \operatorname {PoissDiff} }
의 동형 사상 이다.
푸아송 다양체
M
{\displaystyle M}
의 부분 다양체 (즉, 매끄러운 단사 몰입 )
ι
:
C
↪
M
{\displaystyle \iota \colon C\hookrightarrow M}
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 푸아송 부분 다양체 (영어 : Poisson submanifold )라고 한다.
ι
{\displaystyle \iota }
를 푸아송 사상으로 만드는
C
{\displaystyle C}
위의 푸아송 구조가 하나 이상 존재한다.
ι
{\displaystyle \iota }
를 푸아송 사상으로 만드는
C
{\displaystyle C}
위의 푸아송 구조가 유일하게 존재한다.
임의의
f
,
g
∈
C
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
에 대하여, 만약
f
↾
C
=
0
{\displaystyle f\upharpoonright C=0}
이라면,
{
f
,
g
}
↾
C
=
0
{\displaystyle \{f,g\}\upharpoonright C=0}
이다. (즉,
{
f
∈
C
∞
(
M
,
R
)
:
f
↾
C
=
0
}
{\displaystyle \{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}}
는
C
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
의 리 대수 아이디얼 을 이룬다.)
푸아송 다양체
M
{\displaystyle M}
의 모든 열린집합 은 푸아송 다양체이다. 푸아송 다양체의 닫힌집합 이 푸아송 다양체가 될 필요 충분 조건 은 심플렉틱 잎 들의 합집합 인 것이다.
심플렉틱 다양체 의 푸아송 부분 다양체는 열린집합 밖에 없다.
공등방성 부분 다양체
편집
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
의 부분 다양체
C
↪
M
{\displaystyle C\hookrightarrow M}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
C
{\displaystyle C}
의 쌍대 법다발 (영어 : conormal bundle )은 다음과 같다.
N
∗
C
=
{
α
∈
T
∗
M
:
⟨
α
,
v
⟩
=
0
∀
v
∈
T
C
}
⊆
T
∗
M
{\displaystyle \mathrm {N} ^{*}C=\{\alpha \in \mathrm {T} ^{*}M\colon \langle \alpha ,v\rangle =0\;\forall v\in \mathrm {T} C\}\subseteq \mathrm {T} ^{*}M}
이제,
(
M
,
π
)
{\displaystyle (M,\pi )}
이 푸아송 다양체의 구조를 지녔다고 하자. 그렇다면, 부분 다양체에 대하여 다음 조건들이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 공등방성 부분 다양체 (共等方性部分多樣體, 영어 : coisotropic submanifold )라고 한다.
♯
(
N
∗
C
)
⊆
T
C
{\displaystyle \sharp (\mathrm {N} ^{*}C)\subseteq \mathrm {T} C}
임의의
f
,
g
∈
C
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
에 대하여, 만약
f
↾
C
=
g
↾
C
=
0
{\displaystyle f\upharpoonright C=g\upharpoonright C=0}
이라면,
{
f
,
g
}
↾
C
=
0
{\displaystyle \{f,g\}\upharpoonright C=0}
이다. (다시 말해서,
{
f
∈
C
∞
(
M
,
R
)
:
f
↾
C
=
0
}
{\displaystyle \{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}}
는
C
∞
(
M
,
R
)
}
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\}}
의 부분 리 대수 이다.)
정의에 따라서 (즉, 모든 리 대수 아이디얼 이 부분 리 대수 이므로), 모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 거짓이다.
푸아송 사상
편집
세 푸아송 다양체
M
{\displaystyle M}
,
N
{\displaystyle N}
,
P
{\displaystyle P}
사이의 매끄러운 함수
f
:
M
→
N
{\displaystyle f\colon M\to N}
,
g
:
N
→
P
{\displaystyle g\colon N\to P}
가 주어졌다고 하자.
만약
f
{\displaystyle f}
와
g
{\displaystyle g}
가 푸아송 사상이라면
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
또한 푸아송 사상이다.
만약
f
{\displaystyle f}
가 전사 함수 인 푸아송 사상이며
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
도 푸아송 사상이라면,
g
{\displaystyle g}
역시 푸아송 사상이다.
특히, 미분 동형 인 푸아송 사상의 역함수는 푸아송 사상이다.
유한 차원 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형
ϕ
:
g
→
h
{\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}
이 주어졌을 때,
ϕ
∨
:
h
∨
→
g
∨
{\displaystyle \phi ^{\vee }\colon {\mathfrak {h}}^{\vee }\to {\mathfrak {g}}^{\vee }}
는 푸아송 사상이다. 여기서
(
−
)
∨
{\displaystyle (-)^{\vee }}
는 쌍대 공간 이며, 리 대수의 쌍대 공간 은 선형 푸아송 다양체 로 간주한다.
임의의 두 푸아송 다양체
(
M
,
π
M
)
{\displaystyle (M,\pi _{M})}
,
(
N
,
π
N
)
{\displaystyle (N,\pi _{N})}
에 대하여, 곱공간
M
×
N
{\displaystyle M\times N}
위에 다음과 같은 푸아송 구조를 줄 수 있다.
π
(
(
u
,
v
)
,
(
u
′
,
v
)
)
=
π
M
(
u
,
u
′
)
+
π
N
(
v
,
v
′
)
∀
(
x
,
y
)
∈
M
×
N
,
(
u
,
v
)
,
(
u
′
,
v
′
)
∈
T
(
x
,
y
)
M
×
N
=
T
x
M
⊕
T
y
N
{\displaystyle \pi ((u,v),(u',v))=\pi _{M}(u,u')+\pi _{N}(v,v')\qquad \forall (x,y)\in M\times N,\;(u,v),(u',v')\in \mathrm {T} _{(x,y)}M\times N=\mathrm {T} _{x}M\oplus \mathrm {T} _{y}N}
이는 푸아송 다양체의 범주의 곱 이다. 특히, 사영 사상
proj
1
:
M
×
N
→
M
{\displaystyle \operatorname {proj} _{1}\colon M\times N\to M}
proj
2
:
M
×
N
→
N
{\displaystyle \operatorname {proj} _{2}\colon M\times N\to N}
역시 푸아송 사상을 이룬다.
분리합집합
편집
임의의 푸아송 다양체들의 집합
(
M
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (M_{i})_{i\in I}}
에 대하여, 분리합집합
⨆
i
∈
I
{\displaystyle \textstyle \bigsqcup _{i\in I}}
위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 쌍대곱 이다.
시작 대상과 끝 대상
편집
푸아송 다양체의 범주의 시작 대상 은 공집합
∅
{\displaystyle \varnothing }
이며, 푸아송 다양체의 범주의 끝 대상 은 한원소 공간
{
∙
}
{\displaystyle \{\bullet \}}
이다. 즉, 임의의 푸아송 다양체
M
{\displaystyle M}
에 대하여 유일한 두 함수
∅
→
M
{\displaystyle \varnothing \to M}
M
→
{
∙
}
{\displaystyle M\to \{\bullet \}}
는 각각 푸아송 사상을 이룬다.
망각 함자
편집
푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주는 매끄러운 다양체 와 매끄러운 함수 의 범주로 가는 망각 함자를 갖는다.
PoissDiff
→
Diff
{\displaystyle \operatorname {PoissDiff} \to \operatorname {Diff} }
반대로, 매끄러운 다양체 에 값이 0인 상수 함수 푸아송 괄호를 부여하는 다음과 같은 포함 함자 역시 존재한다.
Diff
↪
PoissDiff
{\displaystyle \operatorname {Diff} \hookrightarrow \operatorname {PoissDiff} }
M
↦
(
M
,
0
)
{\displaystyle M\mapsto (M,0)}
그러나 이는 망각 함자 와 수반 함자 관계를 갖지 않는다.
모든 심플렉틱 다양체 는 푸아송 다양체로 간주될 수 있지만, 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 사상의 범주
SympDiff
{\displaystyle \operatorname {SympDiff} }
에서 푸아송 다양체의 범주로 가는 망각 함자는 존재하지 않는다. 예를 들어, 두 유클리드 공간
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
,
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
에 표준적인 심플렉틱 형식 을 부여했을 때, 심플렉틱 사상
R
2
→
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}
은 무한히 많이 존재하지만, 푸아송 사상
R
2
→
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}
는 존재하지 않는다. 이는 심플렉틱 사상은 (0,2)차 텐서의 당김으로 정의되지만, 푸아송 사상은 (2,0)차 텐서의 밂으로 정의되기 때문이다.
심플렉틱 다양체의 침몰로의 표현
편집
푸아송 다양체
M
{\displaystyle M}
의 심플렉틱 실현 (symplectic實現, 영어 : symplectic realization )은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
심플렉틱 다양체
N
{\displaystyle N}
전사 함수 이자 침몰 인 푸아송 사상
ϕ
:
N
→
M
{\displaystyle \phi \colon N\to M}
모든 푸아송 다양체는 하나 이상의 심플렉틱 실현을 갖는다.[4] [5] [6]
심플렉틱 잎
편집
푸아송 다양체
M
{\displaystyle M}
위에 다음과 같은 동치 관계 를 정의하자. 만약 두 점
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
사이에 다음 조건을 만족시키는 조각별 매끄러운 곡선
γ
:
[
a
0
,
a
N
]
→
M
{\displaystyle \gamma \colon [a_{0},a_{N}]\to M}
이 존재한다면,
x
∼
y
{\displaystyle x\sim y}
라고 하자.
γ
(
a
0
)
=
x
{\displaystyle \gamma (a_{0})=x}
γ
(
a
N
)
=
y
{\displaystyle \gamma (a_{N})=y}
γ
{\displaystyle \gamma }
의 각 매끄러운 조각은 해밀턴 벡터장 의 궤적이다. 즉, 각 매끄러운 조각
γ
i
:
[
a
i
,
a
i
+
1
]
→
M
{\displaystyle \gamma _{i}\colon [a_{i},a_{i+1}]\to M}
에 대하여,
γ
˙
i
(
t
)
=
{
h
i
(
γ
i
(
t
)
)
,
−
}
∈
T
γ
i
(
t
)
M
{\displaystyle {\dot {\gamma }}_{i}(t)=\{h_{i}(\gamma _{i}(t)),-\}\in \mathrm {T} _{\gamma _{i}(t)}M}
이 되는 매끄러운 함수
h
i
:
M
→
R
{\displaystyle h_{i}\colon M\to \mathbb {R} }
가 존재한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.[6] :528, Proposition 1.3
∼
{\displaystyle \sim }
은 동치 관계 를 이룬다.
∼
{\displaystyle \sim }
의 각 동치류 는
M
{\displaystyle M}
의 부분 매끄러운 다양체 를 이루며, 이는 연결 공간 이다.
푸아송 구조
π
{\displaystyle \pi }
를
∼
{\displaystyle \sim }
의 동치류
ι
i
:
M
i
↪
M
{\displaystyle \iota _{i}\colon M_{i}\hookrightarrow M}
에 제한하여 얻어지는 푸아송 다양체는 사실 심플렉틱 다양체 를 이룬다. 이를
M
{\displaystyle M}
의 심플렉틱 잎 (영어 : symplectic leaf )이라고 한다.
심플렉틱 잎
M
i
{\displaystyle M_{i}}
의 임의의 점
x
∈
M
i
{\displaystyle x\in M_{i}}
에 대하여,
rank
π
|
x
=
dim
M
i
{\displaystyle \operatorname {rank} \pi |_{x}=\dim M_{i}}
이다. 특히,
rank
π
{\displaystyle \operatorname {rank} \pi }
는 각 심플렉틱 잎 위에서 상수 함수 이다.
다시 말해, 푸아송 다양체를 서로 다른 차원일 수 있는 심플렉틱 다양체 들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 여길 수 있다. 심플렉틱 잎의 포함 사상은 항상 푸아송 사상이다.
국소 구조
편집
n
{\displaystyle n}
차원 푸아송 다양체
M
{\displaystyle M}
의 임의의 점
x
0
∈
M
{\displaystyle x_{0}\in M}
이 주어졌을 때,
x
{\displaystyle x}
의 충분히 작은 근방 에 다음과 같은 국소 좌표계
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
r
,
p
1
,
p
2
,
…
,
p
r
,
c
1
,
…
,
c
n
−
2
r
)
{\displaystyle (q_{1},q_{2},\dotsc ,q_{r},p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{r},c_{1},\dotsc ,c_{n-2r})}
를 항상 찾을 수 있다.[6] :Theorem 2.1
{
q
i
,
q
j
}
=
{
p
i
,
p
j
}
=
{
q
i
,
c
k
}
=
{
p
i
,
c
k
}
=
0
{\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=\{p_{i},p_{j}\}=\{q_{i},c_{k}\}=\{p_{i},c_{k}\}=0}
{
q
i
,
p
j
}
=
δ
i
j
{\displaystyle \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}
{
c
k
,
c
l
}
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle \{c_{k},c_{l}\}(x_{0})=0}
즉, 이는 국소적으로 어떤
2
r
{\displaystyle 2r}
차원 심플렉틱 다양체
S
{\displaystyle S}
와 푸아송 다양체
N
{\displaystyle N}
의 곱공간 으로 표현되며, 이 경우
N
{\displaystyle N}
의 푸아송 구조는
x
0
{\displaystyle x_{0}}
(의 상 )에서 계수가 0이다. 또한, 이러한
(
S
,
N
)
{\displaystyle (S,N)}
은 국소 동형 아래 유일하다. (물론, 심플렉틱 다양체 인
S
{\displaystyle S}
는 다르부 정리 에 의하여 국소적으로 자명하다.) (다만 이러한 부분 다양체
N
{\displaystyle N}
는 표준적으로 주어지지 않는다.) 즉, 푸아송 다양체의 국소적 구조의 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다.
푸아송 다양체
N
{\displaystyle N}
의 점
x
0
∈
N
{\displaystyle x_{0}\in N}
에서, 푸아송 구조의 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 리 대수
C
∞
(
N
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )}
의 부분 리 대수
C
0
,
x
0
∞
(
N
;
R
)
=
{
f
∈
C
∞
(
N
;
R
)
:
f
(
x
0
)
=
0
}
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon f(x_{0})=0\}}
의 다음과 같은 리 대수 아이디얼 을 생각할 수 있다.
m
=
{
f
∈
C
0
,
x
0
∞
(
N
;
R
)
:
∂
i
∂
j
f
(
x
0
)
=
0
}
{\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{f\in {\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon \partial _{i}\partial _{j}f(x_{0})=0\}}
이에 따라, 공변접공간
T
x
0
∗
N
=
C
0
,
x
0
∞
(
N
;
R
)
m
{\displaystyle \mathrm {T} _{x_{0}}^{*}N={\frac {{\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )}{\mathfrak {m}}}}
위에 리 대수 구조가 주어진다. 이에 따라, 접공간
T
x
0
N
{\displaystyle \mathrm {T} _{x_{0}}N}
위에는 자연스럽게 리-푸아송 구조가 존재한다. 이를
N
{\displaystyle N}
의
x
0
∈
N
{\displaystyle x_{0}\in N}
에서의 선형 근사 (線型近似, 영어 : linear approximation )라고 한다.[6] :535–536, §4 이는 대략
x
0
{\displaystyle x_{0}}
근처에서, 푸아송 괄호의 2차 이상 항들을 버린 것으로 여길 수 있다.
자명한 푸아송 다양체
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임의의 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
위의 매끄러운 함수 공간에 아벨 리 대수 의 구조를 주면 (
{
f
,
g
}
=
0
{\displaystyle \{f,g\}=0}
), 이는 푸아송 구조를 이룬다. 이는 자명한 푸아송 텐서장
π
=
0
{\displaystyle \pi =0}
에 해당한다. 리 준대수 로서, 이는 아벨 리 준대수(즉, 리 괄호 가 모두 0인 것)에 해당한다.
이 경우, 심플렉틱 잎들은 한원소 공간 들이다.
2차원 이하 푸아송 다양체
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매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
의 차원이 2 이하라고 하자. 이 경우,
M
{\displaystyle M}
위의 임의의 반대칭 (2,0)차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다.
1차원 이하의 경우 반대칭 (2,0)차 텐서는 0 밖에 없으며, 이 경우 각 점이 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다.
2차원 푸아송 다양체
(
M
,
π
)
{\displaystyle (M,\pi )}
의 심플렉틱 잎들은 다음과 같다.
2차원 잎들은
{
x
∈
M
:
π
x
≠
0
}
{\displaystyle \{x\in M\colon \pi _{x}\neq 0\}}
의 연결 성분 이다. 이들은 2차원 심플렉틱 다양체 를 이룬다.
0차원 잎들은
{
x
∈
M
:
π
x
=
0
}
{\displaystyle \{x\in M\colon \pi _{x}=0\}}
의 점들이다.
심플렉틱 다양체
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심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
가 주어졌을 때, 푸아송 괄호
{
f
,
g
}
=
ω
−
1
(
d
f
,
d
g
)
{\displaystyle \{f,g\}=\omega ^{-1}(\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)}
를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다.
이 경우, 심플렉틱 잎들은
M
{\displaystyle M}
의 연결 성분 들이다.
선형 푸아송 다양체
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유클리드 공간
V
=
R
n
{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}
및
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
위의 임의의 반대칭 쌍선형 형식
π
(
−
,
−
)
{\displaystyle \pi (-,-)}
을 고르자. 그렇다면, 모든 점
x
∈
V
{\displaystyle x\in V}
에서
T
x
V
=
V
{\displaystyle \mathrm {T} _{x}V=V}
이므로,
(
V
,
π
)
{\displaystyle (V,\pi )}
는 푸아송 다양체를 이룬다.
실수 선형 변환
π
#
:
V
∗
→
V
{\displaystyle \pi ^{\#}\colon V^{*}\to V}
의 계수가
2
r
{\displaystyle 2r}
라고 하자. 그렇다면,
V
{\displaystyle V}
의 적절한 기저
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⊆
V
{\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n})\subseteq V}
및 그 쌍대 기저
(
x
1
,
…
,
x
n
)
⊆
V
∗
{\displaystyle (x^{1},\dotsc ,x^{n})\subseteq V^{*}}
에 대하여,
π
(
∑
i
=
1
n
a
i
x
i
,
∑
j
=
1
n
b
j
x
j
)
=
∑
i
=
1
r
(
a
2
i
−
1
b
2
i
−
a
2
i
b
2
i
−
1
)
{\displaystyle \pi \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}x^{j}\right)=\sum _{i=1}^{r}(a_{2i-1}b_{2i}-a_{2i}b_{2i-1})}
가 되게 할 수 있다. 이 경우,
x
2
r
+
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{2r+1},\dotsc ,x_{n}}
에만 의존하는 임의의 함수는 카시미르 함수 를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각
c
∈
Span
{
x
2
r
+
1
,
…
,
x
n
}
{\displaystyle c\in \operatorname {Span} \{x_{2r+1},\dotsc ,x_{n}\}}
에 대하여
R
2
r
×
{
c
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2r}\times \{c\}}
의 꼴이다. 특히, 만약
n
=
2
r
{\displaystyle n=2r}
일 경우 이는 심플렉틱 벡터 공간 을 이룬다.
리 대수의 쌍대 공간
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유한 차원 실수 리 대수
(
g
,
[
,
]
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}},[,])}
의 쌍대 공간
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 정의하자. 임의의
f
,
g
∈
C
∞
(
g
∗
;
R
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*};\mathbb {R} )}
및
x
∈
g
∗
{\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}^{*}}
에 대하여,
{
f
,
g
}
(
x
)
=
x
(
[
d
f
(
x
)
,
d
g
(
x
)
]
)
{\displaystyle \{f,g\}(x)=x([\mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)])}
여기서
d
f
(
x
)
,
d
g
(
x
)
∈
T
x
∗
g
∗
≅
g
{\displaystyle \mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)\in \mathrm {T} _{x}^{*}{\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}}
이므로, 우변에 리 괄호 를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 리-푸아송 구조 (영어 : Lie–Poisson structure )라고 한다.
리 지수 사상 에 따라
g
=
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)}
가 되는 단일 연결 리 군
G
{\displaystyle G}
를 정의하자. 그렇다면,
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
는 물론 리 군
G
{\displaystyle G}
의 표현 을 이룬다.
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
의 심플렉틱 잎들은
g
∗
{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}
속의,
G
{\displaystyle G}
에 대한 궤도에 해당한다. 이를 쌍대딸림표현 궤도 (영어 : coadjoint orbit )라고 한다.
예를 들어,
g
=
o
(
3
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {o}}(3)}
(3차원 직교군 의 리 대수 )라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. (
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
가 반단순 리 대수 이므로, 킬링 형식
B
(
−
,
−
)
{\displaystyle B(-,-)}
에 의하여 딸림표현 과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3) 의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.
S
r
2
=
{
v
∈
g
:
|
B
(
v
,
v
)
|
=
r
2
}
(
r
∈
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle \mathbb {S} _{r}^{2}=\{v\in {\mathfrak {g}}\colon |B(v,v)|=r^{2}\}\qquad (r\in [0,\infty ))}
즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름
r
{\displaystyle r}
의 구 이다.
r
>
0
{\displaystyle r>0}
일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며,
r
=
0
{\displaystyle r=0}
일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다.
리 대수의 족
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실수
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
에 의존하는, 다음과 같은 실수 리 대수 의 족을 생각하자.[6] :550–551, §11.A
g
t
=
Span
R
{
x
,
y
,
z
}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{t}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x,y,z\}}
[
x
,
y
]
=
t
z
{\displaystyle [x,y]=tz}
[
y
,
z
]
=
x
{\displaystyle [y,z]=x}
[
z
,
x
]
=
y
{\displaystyle [z,x]=y}
만약
t
>
0
{\displaystyle t>0}
일 때, 이는
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
의 재정의를 통해 3차원 회전군 의 리 대수
o
(
3
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3)}
를 이룬다. 만약
t
<
0
{\displaystyle t<0}
일 때, 이는 마찬가지로 3차원 로런츠 군 의 리 대수
o
(
1
,
2
)
=
s
l
(
2
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,2)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )}
와 동형이다.
t
=
0
{\displaystyle t=0}
일 때, 이는 유클리드 평면 의 등거리 변환군의 리 대수
i
o
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {io}}(2)}
와 같다.
이 족을 다음과 같이 푸아송 다양체로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간
R
4
=
Span
{
x
,
y
,
z
,
t
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=\operatorname {Span} \{x,y,z,t\}}
위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 주자.
{
x
,
y
}
=
t
z
{\displaystyle \{x,y\}=tz}
{
y
,
z
}
=
x
{\displaystyle \{y,z\}=x}
{
z
,
x
}
=
y
{\displaystyle \{z,x\}=y}
{
t
,
x
}
=
{
t
,
y
}
=
{
t
,
z
}
=
0
{\displaystyle \{t,x\}=\{t,y\}=\{t,z\}=0}
그렇다면, 이는 푸아송 구조를 이룬다.
이 위에는 다음과 같은 두 카시미르 함수 가 존재한다.
t
{\displaystyle t}
x
2
+
y
2
+
t
z
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+tz^{2}}
이 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎들은 두 함수의 값의 원상으로 정의된다. 즉,
M
t
,
r
=
{
(
x
,
y
,
z
,
t
)
∈
R
4
:
x
2
+
y
2
+
t
z
2
=
r
}
{\displaystyle M_{t,r}=\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}\colon x^{2}+y^{2}+tz^{2}=r\}}
의 꼴이다. (다만 일부 경우 이는 연결 성분 또는 특이점으로 인해 추가로 분해될 수 있다.) 구체적으로 이들은 다음과 같다.
카시미르 함수 의 값
추가 조건
차원
설명
미분 동형인 다양체
t
≠
0
{\displaystyle t\neq 0}
,
r
=
0
{\displaystyle r=0}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
0
한원소 공간
{
(
0
,
0
,
0
,
t
)
}
{\displaystyle \{(0,0,0,t)\}}
한원소 공간
{
∙
}
{\displaystyle \{\bullet \}}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
,
r
=
0
{\displaystyle r=0}
0
한원소 공간
{
(
0
,
0
,
z
,
0
)
}
{\displaystyle \{(0,0,z,0)\}}
t
>
0
{\displaystyle t>0}
,
r
>
0
{\displaystyle r>0}
2
타원면
구
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
t
<
0
{\displaystyle t<0}
,
r
<
0
{\displaystyle r<0}
z
>
0
{\displaystyle z>0}
2
쌍곡면
평면
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
t
<
0
{\displaystyle t<0}
,
r
<
0
{\displaystyle r<0}
z
<
0
{\displaystyle z<0}
2
쌍곡면
t
<
0
{\displaystyle t<0}
,
r
>
0
{\displaystyle r>0}
2
쌍곡면
원기둥
S
1
×
R
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }
t
<
0
{\displaystyle t<0}
,
r
=
0
{\displaystyle r=0}
z
>
0
{\displaystyle z>0}
2
(꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간 의 미래 빛원뿔 )
t
<
0
{\displaystyle t<0}
,
r
=
0
{\displaystyle r=0}
z
<
0
{\displaystyle z<0}
2
(꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간 의 과거 빛원뿔 )
t
=
0
{\displaystyle t=0}
,
r
>
0
{\displaystyle r>0}
2
z
{\displaystyle z}
축에 대한 반지름
r
{\displaystyle r}
의 원기둥
국소 선형 모형
편집
다음이 주어졌다고 하자.
심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
매끄러운 주다발
G
↪
P
↠
π
M
{\displaystyle G\hookrightarrow P\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M}
P
{\displaystyle P}
의 주접속
θ
∈
Ω
1
(
P
;
g
)
{\displaystyle \theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}
그렇다면,
θ
~
∈
Ω
1
(
P
×
g
∗
)
{\displaystyle {\tilde {\theta }}\in \Omega ^{1}(P\times {\mathfrak {g}}^{*})}
θ
~
(
p
,
α
)
=
⟨
α
,
θ
⟩
{\displaystyle {\tilde {\theta }}_{(p,\alpha )}=\langle \alpha ,\theta \rangle }
를 정의할 수 있다. 주접속 의 정의에 따라, 이는
G
{\displaystyle G}
의
P
×
g
∗
{\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}^{*}}
위의 오른쪽 군 작용 에 대하여 불변이다. 따라서, 사영 사상
(
π
,
0
)
:
P
×
g
∗
↠
M
{\displaystyle (\pi ,0)\colon P\times {\mathfrak {g}}^{*}\twoheadrightarrow M}
에 대한 당김 을 통하여
ω
~
=
(
π
,
0
)
∗
ω
−
d
θ
~
∈
Ω
2
(
P
×
g
∗
)
{\displaystyle {\tilde {\omega }}=(\pi ,0)^{*}\omega -\mathrm {d} {\tilde {\theta }}\in \Omega ^{2}(P\times {\mathfrak {g}}^{*})}
를 정의할 수 있다. 이는
G
{\displaystyle G}
-불변인 닫힌 2차 미분 형식 이며, 또한
P
×
{
0
}
{\displaystyle P\times \{0\}}
의 어떤
G
{\displaystyle G}
-불변 근방
M
×
{
0
}
⊆
U
⊆
M
×
g
∗
{\displaystyle M\times \{0\}\subseteq U\subseteq M\times {\mathfrak {g}}^{*}}
U
⋅
G
=
U
{\displaystyle U\cdot G=U}
에서 비퇴화 이차 형식 을 정의한다. 즉, 이는
U
{\displaystyle U}
위의
G
{\displaystyle G}
-불변 심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 따라서, 몫공간
U
/
G
{\displaystyle U/G}
위에는 푸아송 다양체 구조
ω
~
/
G
{\displaystyle {\tilde {\omega }}/G}
가 존재한다. 이 구성은 주접속 에 의존하지만, 서로 다른 주접속 을 사용해도 서로 동형인 푸아송 구조들을 얻는다.[7] :Remark 5.17 (그러나 이 동형은 일반적으로 표준적이지 않다.)
이 푸아송 다양체를 주다발
P
{\displaystyle P}
의 국소 선형 모형 (局所線型模型, 영어 : local linear model )이라고 한다.[7] :§5.8
참고 문헌
편집
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↑ Guillemin, V.; Sternberg, S. (1984). 《Symplectic techniques in Physics》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-24866-3 .
↑ Weinstein, Alan (1998년 8월). “Poisson geometry”. 《Differential Geometry and its Applications》 (영어) 9 (1–2): 213–238. doi :10.1016/S0926-2245(98)00022-9 .
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외부 링크
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