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푸아송 방정식(Poisson方程式, 영어: Poisson’s equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 라플라스 방정식을 일반화한 것이다. 시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다.

정의편집

 차원 다양체   위에서,    위에 주어진 함수라고 하자. 그렇다면 푸아송 방정식은 미지 함수  에 대한 다음과 같은 2차 편미분 방정식이다.

 

여기서  라플라스-벨트라미 연산자이며, 이는  이 평탄할 때 라플라스 연산자와 같다.

그린 함수편집

푸아송 방정식은 그린 함수를 사용하여 풀 수 있다.  차원 유클리드 공간에서 푸아송 방정식의 그린 함수  는 다음과 같다.

 
 
  ( )

여기서

 

은 반지름이 1인  차원 초구의 (초)면적이고,  감마 함수다. 예를 들어

 
 
 
 

이다. 그린 함수  은 다음을 만족시킨다.

 

여기서   차원 디랙 델타 함수다.

응용편집

전자기학에서, 주어진 전하 분포가 발생시키는 전위를 계산할 때 쓰인다. 이 경우  는 주어진 전하 밀도이고,  전위로 해석한다.