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푸앵카레-벤딕손 정리

동역학계 이론에서, 푸앵카레-벤딕손 정리(영어: Poincaré–Bendixson theorem)는 2차원 평면 위의 연속 시간 동역학계에서는 혼돈이 일어나지 않는다는 정리이다.

정의편집

 가 평면 속의 열린집합이라고 하자.   위의 2차원 연속 시간 동역학계

 
 

  함수라고 하자.

 궤도(영어: orbit)  는 다음과 같다.

 

 ω+-극한 집합(영어: ω+-limit set)  은 다음과 같다.

 

 ω-극한 집합(영어: ω-limit set)  은 다음과 같다.

 

 가 다음 네 조건들을 만족시킨다고 하자.

  •  
  •  콤팩트 집합이다.
  •  연결 공간이다.
  •  에 속하는 고정점은 유한 개이다.

그렇다면, 푸앵카레-벤딕손 정리에 따르면 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.[1]:223, Theorem 7.16

  •  고정점이다.
  •  는 (양의 주기를 갖는) 주기적 궤도이다. 즉,   가 존재한다.
  •  는 유한 개의 고정점  과 비주기 궤도  들로 구성되며, 모든   에 대하여,  가 되는  가 존재한다. 즉, 각   에서  로 가는 궤도이다.

 에 대해서도 마찬가지 정리가 성립한다.

1차원 푸앵카레-벤딕손 정리편집

푸앵카레-벤딕손 정리는 1차원에서도 (자명하게) 성립한다.[1]:277, Problem 7.9 즉,  열린집합 위에서의 연속 시간   동역학계에서, 공집합이 아닌, 유한 개의 고정점을 포함하는 콤팩트 연결  -극한 집합은 다음 두 가지 가운데 하나이다.

  •  은 고정점이다.
  •  에서,   은 고정점이며,   가 존재한다.

이는 "1차원 벡터장"(=실수 함수)의 중간값 정리의 보조 정리이다.

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푸앵카레-벤딕손 정리는 평면의 부분 집합에서만 성립한다. 예를 들어, 원환면 위에서는 콤팩트 조밀 비주기 궤도가 존재할 수 있다. 이 경우,  -극한 집합은 원환면 전체가 된다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 3차원 이상에서 성립하지 않는다. 3차원 이상에서는 로렌즈 방정식과 같이 야릇한 끌개가 존재할 수 있다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 이산 시간 동역학계에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 로지스틱 사상혼돈 현상을 보이지만, 1차원 계이다.

역사편집

앙리 푸앵카레[2][3][4][5][6][7][8] 가 1880년대에 제시하였지만, 엄밀한 증명을 제시하지 않았다. 이후 1901년에 이바르 오토 벤딕손(스웨덴어: Ivar Otto Bendixson)이 엄밀한 증명을 제시하였다.[9]

참고 문헌편집

  1. Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. 
  2. Poincaré, Henri (1880). “Sur les courbes définies par une équation différentielle”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 90: 673–675. JFM 12.0588.01. 
  3. Poincaré, Henri (1881). “Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle” (PDF). 《Journal de mathématiques pures et appliquées (série 3)》 (프랑스어) 7: 375–422. JFM 13.0591.01. 
  4. Poincaré, Henri (1882). “Sur les courbes définies par les équations différentielles”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 93: 951–952. JFM 13.0591.02. 
  5. Poincaré, Henri (1882). “Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (deuxième partie)” (PDF). 《Journal de mathématiques pures et appliquées (série 3)》 (프랑스어) 8: 251–296. JFM 14.0666.01. 
  6. Poincaré, Henri (1884). “Sur les courbes définies par les équations différentielles”. 《Comptes rendus de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 98: 287–289. JFM 16.0294.01. 
  7. Poincaré, Henri (1885). “Sur les courbes définies par les équations différentielles (troisième partie)” (PDF). 《Journal de mathématiques pures et appliquées (série 4)》 (프랑스어) 1: 167–244. JFM 17.0680.01. 
  8. Poincaré, Henri (1886). “Sur les courbes définies par les équations différentielles (quatrième partie)” (PDF). 《Journal de mathématiques pures et appliquées (série 4)》 (프랑스어) 2: 151–211. JFM 18.0314.01. 
  9. Bendixson, Ivar Otto (1901). “Sur les courbes définies par des équations différentielles”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 24 (1): 1–88. doi:10.1007/BF02403068. JFM 31.0328.03. 

외부 링크편집