푸앵카레 군

푸앵카레 군(Poincaré群, Poincaré group)은 민코프스키 공간의 대칭군이다. 공간 회전 3방향과 로런츠 변환 3방향, 공간 병진 3방향과 시간 병진 1방향으로 총 10차원의 리 군을 이룬다. 앙리 푸앵카레의 이름을 땄다. 기호로는 보통 ISO(3,1)을 쓴다. "ISO"는 "inhomogeneous special orthogonal group"의 약자로, 즉 로런츠 군 SO(3,1)에다 병진군 $\mathbb {R} ^{4}$를 추가한 군이다.

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정의

d 차원 푸앵카레 군은 병진 변환의 아벨 군 $\mathbb {R} ^{d}$과 로런츠 군 $SO(d-1,1)$의 반직접곱이다. 즉,

$\operatorname {ISO} (d-1,1)=\mathbb {R} ^{d}\rtimes \operatorname {SO} (3,1)$

이다. 이때 사용되는 작용은 $\operatorname {SO} (d-1,1)$의 행렬로서의 자연스런 작용이다. 즉, $M\in \operatorname {SO} (d-1,1)$의 $v\in \mathbb {R} ^{d}$에 대한 작용은

$M\colon v\to Mv$

이며, $Mv$는 행렬로서의 곱셈이다.

성질

d차원 민코프스키 공간에서의 푸앵카레 군의 차원은

$\dim \operatorname {ISO} (1,d-1)=d+{\frac {d(d-1)}{2}}=d(d+1)/2$

이다. 특히, 4차원 푸앵카레 변환은 10차원의 리 군을 이룬다.

푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 $(\Lambda _{\nu }^{\mu },a^{\mu })$은 사차원 벡터 $x^{\mu }$에 다음과 같이 작용한다.

$x^{\mu }\mapsto x^{'\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }+a^{\mu }$.

여기서 $\Lambda _{\nu }^{\mu }$는 임의의 로런츠 변환이고, $a^{\mu }$는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환(translation)의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 푸앵카레 대칭성을 지닌다고 한다.

푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적

$x^{\mu }x_{\mu }=x^{\mu }x^{\nu }\eta _{\mu \nu }=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$

을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(Euclidean group, 유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.

푸앵카레 변환 가운데 $a^{\mu }=0$인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군을 로런츠 군(Lorentz group, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 로런츠 대칭성(Lorentz symmetry)이라고 한다.

앞의 변환 $x^{\mu }\to x^{'\mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }+a^{\mu }$의 연산자를 $(\Lambda ,a)$라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.

• $(\Lambda ,a)(M,b)=(\Lambda M,\Lambda b+a)$
• $(\Lambda ,a)^{-1}=(\Lambda ^{-1},-\Lambda ^{-1}a)$
• $[(\Lambda ,a)(M,b)](N,c)=(\Lambda ,a)[(M,b)(N,c)]$

푸앵카레 군의 군 표현론은 위그너 분류라고 불린다.

리 대수

푸앵카레 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.

이것은 등각 대칭이다.

$[P_{\mu },P_{\nu }]=0$

$[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=i\left(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\right)$

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i\left(\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\right)$

역사

헤르만 민코프스키가 1908년에 도입하였다. 앙리 푸앵카레는 사실 푸앵카레 군에 대해 논하지 않았으나, 푸앵카레는 1905년에 로런츠 군이 군을 이룬다는 사실을 보였고, 푸앵카레의 이름을 따 명명되었다.

외부 링크

• “Poincaré group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Poincaré group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Poincaré transformation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.