피카르-린델뢰프 정리

동역학계 이론에서, 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem) 또는 피카르 유일성 정리(영어: Picard’s uniqueness theorem) 또는 코시-립시츠 정리(영어: Cauchy–Lipschitz theorem)는 1계 상미분 방정식초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.

정의편집

초깃값 문제

 
 

를 생각하자.

립시츠 조건편집

열린집합  연속 함수  가 주어졌고,   에 대하여 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수  가 존재한다고 하자 (립시츠 조건, 영어: Lipschitz condition).

 

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의  에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤  에 대하여 유일한 국소적 해  를 갖는다. 만약  일 경우, 임의의  에 대하여, 위 초깃값 문제는 유일한 대역적 해  를 갖는다.[1]:12, §3.2, Theorem 3.1

증명 (바나흐 고정점 정리를 통한 증명):

우선   

 

를 취하자. 그렇다면 연속 함수  들의 집합   위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

 

이 노름은 상한 노름  과 동치이므로  바나흐 공간이다. 연속 함수  의 집합   닫힌집합이므로   역시 바나흐 공간이다.

이제 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

 
 

이 작용소의 공역 로 제한할 수 있는 것은 임의의   에 대하여

 

이기 때문이다. 정리 속 초깃값 문제의 해  는 자명하게  고정점과 동치이다. 바나흐 고정점 정리에 따라, 이러한 고정점이 유일하게 존재함을 보이려면  가 (노름  에 대하여) 축약 사상임을 보이는 것으로 충분하다. 이는  의 립시츠 조건에 따라 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의   에 대하여,

 

마지막으로, 위 증명은  가 고정되었을 때  를 ( 를 만족시키는) 더 큰 수로 대체하여도 유효하므로, 초깃값 문제의 해  는 유일하게 존재한다.

만약  일 경우   를 취하면 대역적 해의 존재와 유일성을 얻는다.

증명 (그뢴발 부등식을 통한 증명):

국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 국소적 해의 유일성은 그뢴발 부등식을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.   ( )가 정리 속 초깃값 문제의 두 해라고 하고,  라고 하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여,

 

이다. 그뢴발 부등식에 따라  이며, 즉  이다.

국소 립시츠 조건편집

열린집합  연속 함수  가 주어졌고,   에 대하여 국소 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 임의의  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는  근방   및 음이 아닌 실수  가 존재한다고 하자 (국소 립시츠 조건, 영어: local Lipschitz condition).

 

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의  에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤  에 대하여 유일한 국소적 해  를 갖는다.[2]:265 특히, 만약  에 대한 편미분  연속 함수라면,  는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다.

증명:

임의의  를 고정하였을 때,   로 제한되었을 때 립시츠 조건을 만족시키며, 따라서 정리 속 초깃값 문제는 어떤  에서 유일한 국소적 해를 갖는다.

해의 근사편집

반복법을 사용하여 위 초깃값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열  을 다음과 같이 구성할 수 있다.

 
 

이 경우 실제 해  와의 오차는 다음과 같다.

 

증명:

 
 

다른 정리와의 관계편집

피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건(립시츠 조건)을 제시한다. 오스굿 유일성 정리는 이 충분 조건을 약화하여 얻는 정리이다. 페아노 존재 정리는 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(영어: Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(영어: weak solution)의 존재만을 결론내린다.

역사편집

샤를 에밀 피카르에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)[3]가 증명하였다.

각주편집

  1. O’Regan, Donal (1997). 《Existence Theory for Nonlinear Ordinary Differential Equations》. Mathematics and Its Applications (영어) 398. Dordrecht: Springer. doi:10.1007/978-94-017-1517-1. ISBN 978-90-481-4835-6. 
  2. Cid, J. Ángel (2003년 5월 1일). “On uniqueness criteria for systems of ordinary differential equations”. 《Journal of Mathematical Analysis and Applications》 (영어) 281 (1): 264–275. doi:10.1016/S0022-247X(03)00096-9. ISSN 0022-247X. 
  3. Lindelöf, E. (1894). “Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences》 (프랑스어) 116: 454–457. 

참고 문헌편집

외부 링크편집