피카르-린델뢰프 정리

동역학계 이론에서 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem) 또는 피카르 유일성 정리(영어: Picard’s uniqueness theorem) 또는 코시-립시츠 정리(영어: Cauchy–Lipschitz theorem)는 1계 상미분 방정식의 초깃값 문제의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.

정의

초깃값 문제

$y'(t)=f(t,y(t))$

$y(t_{0})=y_{0}$

를 생각하자.

립시츠 조건

열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 및 연속 함수 $f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}$가 주어졌고, $f$가 $y$에 대하여 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 $L\geq 0$가 존재한다고 하자 (립시츠 조건, 영어: Lipschitz condition).

$|f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z|\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t_{0},t_{0}+a]\times U$

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 $y_{0}\in U$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 $0<\delta \leq a$에 대하여 유일한 국소적 해 $\phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U$를 갖는다. 만약 $U=\mathbb {R} ^{n}$일 경우, 임의의 $y_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, 위 초깃값 문제는 유일한 대역적 해 $\phi \colon [t_{0},t_{0}+a]\to \mathbb {R} ^{n}$를 갖는다.^{:12, §3.2, Theorem 3.1}

증명 (바나흐 고정점 정리를 통한 증명):

우선 $\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)\subseteq U$인 $b>0$ 및

$0<\delta \leq \min \left\{a,{\frac {b}{\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|}}\right\}$

를 취하자. 그렇다면 연속 함수 $[t_{0},t_{0}+\delta ]\to \mathbb {R} ^{n}$들의 집합 ${\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\mathbb {R} ^{n})$ 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

$\Vert \phi \Vert =\Vert t\mapsto \exp(-Lt)\phi (t)\Vert _{\infty }=\sup _{t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}\exp(-Lt)|\phi (t)|$

이 노름은 상한 노름 $\Vert \cdot \Vert _{\infty }$과 동치이므로 $({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\mathbb {R} ^{n}),\Vert \cdot \Vert )$은 바나흐 공간이다. 연속 함수 $[t_{0},t_{0}+\delta ]\to \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)$의 집합 ${\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$은 ${\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+a],\mathbb {R} ^{n})$의 닫힌집합이므로 $({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)),\Vert \cdot \Vert )$ 역시 바나흐 공간이다.

이제 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

$T\colon {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))\to {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$

$T\phi \colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\phi (s))\mathrm {d} s$

이 작용소의 공역을 ${\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$로 제한할 수 있는 것은 임의의 $\phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$ 및 $t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]$에 대하여

$|(T\phi )(t)-y_{0}|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq \sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|\cdot \delta \leq b$

이기 때문이다. 정리 속 초깃값 문제의 해 $\phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$는 자명하게 $T$의 고정점과 동치이다. 바나흐 고정점 정리에 따라, 이러한 고정점이 유일하게 존재함을 보이려면 $T$가 (노름 $\Vert \cdot \Vert$에 대하여) 축약 사상임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 $f$의 립시츠 조건에 따라 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 $\phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))$ 및 $t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]$에 대하여,

${\begin{aligned}\exp(-Lt)|(T\phi -T\psi )(t)|&\leq \exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\\&\leq \exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}L|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s\\&=\exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}Le^{Ls}e^{-Ls}|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s\\&\leq \exp(-Lt)\int _{t_{0}}^{t}Le^{Ls}\mathrm {d} s\Vert \phi -\psi \Vert \\&=(1-\exp(-Lt))\Vert \phi -\psi \Vert \\&\leq (1-\exp(-L(t_{0}+\delta )))\Vert \phi -\psi \Vert \end{aligned}}$

마지막으로, 위 증명은 $\delta$가 고정되었을 때 $b$를 ($\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)\subseteq U$를 만족시키는) 더 큰 수로 대체하여도 유효하므로, 초깃값 문제의 해 $[t_{0},t_{0}+\delta ]\to U$는 유일하게 존재한다.

만약 $U=\mathbb {R} ^{n}$일 경우 $b=\infty$와 $\delta =a$를 취하면 대역적 해의 존재와 유일성을 얻는다.

증명 (그뢴발 부등식을 통한 증명):

국소적 해의 존재는 페아노 존재 정리의 특수한 경우이다. 국소적 해의 유일성은 그뢴발 부등식을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. $\phi ,\psi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U$ ($0<\delta \leq a$)가 정리 속 초깃값 문제의 두 해라고 하고, $h=|\phi -\psi |$라고 하자. 그렇다면, 임의의 $t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]$에 대하여,

$h(t)\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\leq L\int _{t_{0}}^{t}|\phi (s)-\psi (s)|\mathrm {d} s=L\int _{t_{0}}^{t}h(s)\mathrm {d} s$

이다. 그뢴발 부등식에 따라 $h=0$이며, 즉 $\phi =\psi$이다.

국소 립시츠 조건

열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 및 연속 함수 $f\colon [t_{0},t_{0}+a]\times U\to \mathbb {R} ^{n}$가 주어졌고, $f$가 $y$에 대하여 국소 립시츠 연속 함수라고 하자. 즉, 임의의 $y_{0}\in U$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $y_{0}$의 근방 ${\widetilde {U}}\subseteq U$ 및 음이 아닌 실수 $L\geq 0$가 존재한다고 하자 (국소 립시츠 조건, 영어: local Lipschitz condition).

$|f(t,y)-f(t,z)|\leq L|y-z|\qquad \forall (t,y),(t,z)\in [t_{0},t_{0}+a]\times {\widetilde {U}}$

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, 임의의 $y_{0}\in U$에 대하여, 위 초깃값 문제는 어떤 $0<\delta \leq a$에 대하여 유일한 국소적 해 $\phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U$를 갖는다.^:265 특히, 만약 $y$에 대한 편미분 $\partial f/\partial y$이 연속 함수라면, $f$는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다.

증명:

임의의 $y_{0}\in U$를 고정하였을 때, $f$는 $[t_{0},t_{0}+a]\times {\widetilde {U}}$로 제한되었을 때 립시츠 조건을 만족시키며, 따라서 정리 속 초깃값 문제는 어떤 $[t_{0},t_{0}+\delta ]$에서 유일한 국소적 해를 갖는다.

해의 근사

반복법을 사용하여 위 초깃값 문제의 해로 균등 수렴하는 함수열 $\phi _{n}\colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U$을 다음과 같이 구성할 수 있다.

$\phi _{0}\colon t\mapsto y_{0}$

$\phi _{n+1}\colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\phi _{n}(s))\mathrm {d} s$

이 경우 실제 해 $\phi \colon [t_{0},t_{0}+\delta ]\to U$와의 오차는 다음과 같다.

$|\phi _{n}(t)-\phi (t)|\leq {\frac {L^{n}}{(n+1)!}}|t-t_{0}|^{n+1}\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|$

증명:

$|\phi _{0}(t)-\phi (t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq |t-t_{0}|\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|$

${\begin{aligned}|\phi _{n+1}(t)-\phi (t)|&\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi _{n}(s))-f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}|\phi _{n}(s)-\phi (s)|\mathrm {d} s\\&\leq {\frac {L^{n+1}}{(n+1)!}}\int _{t_{0}}^{t}|s-t_{0}|^{n+1}\mathrm {d} s\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|\\&={\frac {L^{n+1}}{(n+2)!}}|t-t_{0}|^{n+2}\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|\end{aligned}}$

다른 정리와의 관계

피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건(립시츠 조건)을 제시한다. 오스굿 유일성 정리는 이 충분 조건을 약화하여 얻는 정리이다. 페아노 존재 정리는 립시츠 조건 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(영어: Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(영어: weak solution)의 존재만을 결론내린다.

역사

샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)가 증명하였다.

참고 문헌

• Coddington, Earl A.; Norman Levinson (1955). 《Theory of ordinary differential equations》 (영어). McGraw-Hill. 
• Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. 

외부 링크

• “Cauchy-Lipschitz theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Picard's existence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.