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대수기하학에서, 피카르 군(Picard群, 영어: Picard group)은 환 달린 공간 위에 존재하는 가역층들의 이다.

정의편집

 환 달린 공간이라고 하자. 그렇다면   위에 존재하는 가역층(가역 선다발)들의 집합을 생각하자. 이 집합에 텐서곱을 통해 군의 연산을 줄 수 있다. 이 군을 피카르 군  이라고 한다. 이는 층 코호몰로지를 사용하여

 

와 같이 정의할 수도 있다.

피카르 스킴편집

대수적으로 닫힌 체  에 대한 사영 공간의 부분 스킴인 정역 스킴에 대하여, 피카르 군에  -스킴의 주조를 줄 수 있는데, 이를 피카르 스킴(영어: Picard scheme)  이라고 한다.[1]

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 연결 성분 라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

 

여기서 몫군  네롱-세베리 군(영어: Néron–Severi group)이라고 하며,  로 쓴다. 네롱-세베리 군의 계수피카르 수(영어: Picard number)  라고 한다. 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군  의 크기를 세베리 수(영어: Severi number)라고 한다.

성질편집

대수적으로 닫힌 체 위의 완비 비특이 대수다양체  의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이며, (네롱-세베리 정리 영어: Néron–Severi theorem) 또한 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군  쌍유리 동치에 대하여 불변이다.

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 에 대한  차원 사영 공간  의 경우, 가역층들은   ( )이고, 이들은  를 만족한다. 따라서  의 피카르 군은 무한 순환군  동형이다.

데데킨트 정역의 피카르 군은 그 아이디얼 유군이다.

 에 대하여, 두 개의  를 0이 아닌 원소들의 열린 집합  에서 이어붙이면, 원점이 두 개인 아핀 직선을 얻는다. 이 경우, 피카르 군은 무한 순환군  와 동형이다.

역사편집

피카르 군은 에밀 피카르의 이름을 땄다. 네롱-세베리 군은 앙드레 네롱프란체스코 세베리의 이름을 땄다.

참고 문헌편집

  1. Kleiman, Steven L. (2005). 〈The Picard scheme〉. 《Fundamental algebraic geometry》. Math. Surveys Monogr. (영어) 123. American Mathematical Society. 235–321쪽. arXiv:math/0504020. MR 2223410. 

외부 링크편집

같이 보기편집