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대수기하학에서, 피카르 군(Picard群, 영어: Picard group)은 환 달린 공간 위에 존재하는 가역층들의 이다.

정의편집

 환 달린 공간이라고 하자. 그렇다면   위에 존재하는 가역층(가역 선다발)들의 집합을 생각하자. 이 집합에 텐서곱을 통해 군의 연산을 줄 수 있다. 이 군을 피카르 군  이라고 한다. 이는 층 코호몰로지를 사용하여

 

와 같이 정의할 수도 있다.

피카르 스킴편집

대수적으로 닫힌 체  에 대한 사영 공간의 부분 스킴인 정역 스킴에 대하여, 피카르 군에  -스킴의 주조를 줄 수 있는데, 이를 피카르 스킴(영어: Picard scheme)  이라고 한다.[1]

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 연결 성분 라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

 

여기서 몫군  네롱-세베리 군(영어: Néron–Severi group)이라고 하며,  로 쓴다. 네롱-세베리 군의 계수피카르 수(영어: Picard number)  라고 한다. 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군  의 크기를 세베리 수(영어: Severi number)라고 한다.

성질편집

대수적으로 닫힌 체 위의 완비 비특이 대수다양체  의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이며, (네롱-세베리 정리 영어: Néron–Severi theorem) 또한 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군  쌍유리 동치에 대하여 불변이다.

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 에 대한  차원 사영 공간  의 경우, 가역층들은   ( )이고, 이들은  를 만족한다. 따라서  의 피카르 군은 무한 순환군  동형이다.

데데킨트 정역의 피카르 군은 그 아이디얼 유군이다.

 에 대하여, 두 개의  를 0이 아닌 원소들의 열린 집합  에서 이어붙이면, 원점이 두 개인 아핀 직선을 얻는다. 이 경우, 피카르 군은 무한 순환군  와 동형이다.

역사편집

피카르 군은 에밀 피카르의 이름을 땄다. 네롱-세베리 군은 앙드레 네롱프란체스코 세베리의 이름을 땄다.

참고 문헌편집

  1. Kleiman, Steven L. (2005). 〈The Picard scheme〉. 《Fundamental algebraic geometry》. Math. Surveys Monogr. (영어) 123. American Mathematical Society. 235–321쪽. MR 2223410. arXiv:math/0504020. 

외부 링크편집

같이 보기편집