함수의 합성

함수 . 예를 들어 이다.

수학에서, 함수의 합성(函數의合成, 영어: function composition) 또는 합성 함수(合成函數, 영어: composite function)는 한 함수공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다.

정의편집

임의의 집합  ,  ,   및 두 함수

 
 

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 합성  는 다음과 같은 함수이다.

 
 

함수의 합성  가 정의되려면,  공역 정의역에 포함되어야 한다.

성질편집

함수의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합  ,  ,  ,   및 함수

 
 
 

가 주어졌을 때,

 

이다. 이에 따라, (항등 함수의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 범주를 이루는 것을 알 수 있다.

증명:

임의의  에 대하여

 

이므로

 

이다.

임의의 집합   및 이를 정의역공역으로 하는 두 함수  가 주어졌을 때, 두 가지 순서의 합성  ,  을 정의할 수 있다. 이 경우 교환 법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어,  실수체이고,

 
 

라고 하면,

 
 

이며,

 

이므로  이다.

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