함자 (수학)

두 범주 사이의, 구조를 보존하는 사상

범주론에서 함자(函子, 영어: functor 펑크터[*] /ˈfʌŋktə(r)/)는 두 범주 사이의 함수에 해당하는 구조로, 대상을 대상으로, 사상을 사상으로 대응시킨다. 함자는 작은 범주의 범주의 사상으로 볼 수 있다.

함자의 개념은 대수적 위상수학에서 위상 공간에 대해 기본군 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 함자의 개념을 사용한다.

정의

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  범주라 하자. 이때    사이의 함자  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  •  의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상  
  •  의 임의의 사상  에 대해 대응되는 D의 사상  

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

  • (항등사상의 보존)  
  • (사상 합성의 보존)  의 임의의 사상   에 대해  

다시 말해, 함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다.

정의역과 공역이 같은 범주인 함자를 자기 함자(自己函子, 영어: endofunctor 엔도펑크터[*])라고 한다. 자기 함자는 작은 범주로 이루어진 범주  자기 사상이기도 하다.

공변함자와 반변함자

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수학에서는 사상의 방향을 바꾸는 함자를 생각해야 하는 경우도 많이 있다. 따라서   에서  로의 반변함자(反變函子, 영어: contravariant functor)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  •  의 임의의 대상  에 대해 대응되는  의 대상  
  •  의 임의의 사상  에 대해 대응되는  의 사상  

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

  • (항등사상의 보존)  이다.
  • (사상 합성의 반변)  의 임의의 사상   에 대해  

즉, 반변함자가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀐다. 위에서 정의한 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 함자는 반변함자와 구분하기 위해 공변함자(共變函子, 영어: covariant functor)라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변함자를 것을 그 쌍대범주의 공변함자로서 정의할 수도 있다. 일부 저자들은 모든 함자를 공변적으로 서술하는 쪽을 선호하며, 따라서  가 반변함자라고 말하는 대신  (혹은  )가 (공변)함자라고 말한다.

  • 상수 함자(영어: identity functor):  의 모든 대상에 대해  의 특정한 대상  를 대응시키고,  의 모든 사상에 대해 X 상의 항등사상을 대응시키는 함자를 상수 함자 혹은 선택 함자라고 한다.
  • 대각 함자(영어: diagonal functor):  의 대상    상의 상수 함자로 보내는 함자를 대각 함자라고 한다. 이는  에서 함자 범주  로의 함자이다.

역사

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독일어: Funktor 풍크토어[*]’라는 단어는 원래 철학자 루돌프 카르나프가 1934년에 언어철학에 대한 저서 《언어의 논리적 구문》(독일어: Logische Syntax der Sprache)에서 정의한 용어다.[1]

사무엘 에일렌베르크손더스 매클레인이 1945년에 카르나프의 용어를 ‘영어: functor 펑크터[*]’로 수학에 차용하여 도입하였다.[2] 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.

범주를 정의한 이유는 함자를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환을 정의하기 위해서이다.
[…] “category” has been defined in order to be able to define “functor” and “functor” has been defined in order to be able to define “natural transformation”.
 
[3]:18

같이 보기

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각주

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  1. Carnap, Rudolf (1934). 《Logische Syntax der Sprache》. Schriften zur wissenschaftlichen Weltauffassung (독일어) 8. : Springer. doi:10.1007/978-3-662-25375-5. 
  2. Eilenberg, Samuel; Saunders Mac Lane (1945년 9월). “General theory of natural equivalences”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 58 (2): 231–294. doi:10.2307/1990284. 
  3. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

외부 링크

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