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수학에서, (合, 영어: sum)은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 합의 표기에는 시그마의 모양을 딴 대형 연산자 가 쓰인다.

정의편집

유한 수열  (유한)합((有限)合, 영어: (finite) sum)은 이 수들을 모두 더하여 얻는 값이며, 이를 다음과 같이 표기한다.

 

보다 일반적으로, 유한 집합  에 대하여, 수들로 구성된 유한족  의 합 역시 이 수들을 모두 더하여 얻는 값이며, 그 표기법은 다음과 같다.

 

또한, 성질  를 만족시키는 대상의 개수가 유한할 경우, 이러한 대상을 첨수로 하는, 수들의 유한족  의 합 역시 정의할 수 있으며, 다음과 같다.

 

위 세 공식에서 각각 가장 왼쪽의 하나만이 엄밀한 표기법이며, 나머지 것들은 일부 조건을 생략한 표기법이다.

성질편집

항등식편집

합의 표기에 시그마를 사용할 수 있는 이유는 덧셈의 결합 법칙에 있다. 즉, 합의 결과값이 괄호를 씌우는 방식과 무관하므로, 표기에서 이를 생략하여도 무방하다. 또한 덧셈의 교환 법칙이 성립하므로, 즉 합은 더하는 수를 쓰는 순서와 무관하므로, 수들의 합은 그 첨수 방식과 무관하다.

합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

  • 점화식
     
  • 덧셈의 보존
     
  • 분배 법칙
     
  • 선형성: 이는 덧셈의 보존 및 분배 법칙의 일반화이다.
     
  • 푸비니 정리
     

그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.

부등식편집

실수들의 합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

  • 코시-슈바르츠 부등식
     

증명:

 
  • 횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.
     

증명:

영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

 
  • 민코프스키 부등식
     

증명:

다음과 같은  를 취하자.

 

그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

편집

일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.

다항식의 합편집

  • 상수열의 합
     
  • 등차수열의 합: 이를 삼각수라고 한다.
     
  • 제곱 합: 이를 사각뿔수라고 한다.
     
  • 세제곱 합: 이를 니코마코스 정리(영어: Nicomachus's theorem)라고 한다.
     

증명:

위의 제곱의 합의 증명과 비슷하게

 

임을 이용하여 할 수 있다. 즉, 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다.

  • 네제곱 합
     
  • 다섯제곱 합
     
  • 여섯제곱 합
     
  • 일곱제곱 합
     
  • 거듭제곱 합: 이를 파울하버 공식(영어: Faulhaber's formula)이라고 한다. 여기서   번째 베르누이 수이다.
     

유리식의 합편집

  • 조화수열의 합: 이를 조화수라고 한다.
     

지수 함수의 합편집

  • 등비수열의 합
     
  • 등차-등비 수열의 합
     
  • 삼각 함수의 합: 이를 디리클레 핵(영어: Dirichlet kernel)이라고 한다.
     

이항 계수의 합편집

  • 이항 계수의 합
     
     
  • 하강 계승의 합
     

같이 보기편집