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복소 평면에서의 . 실수는 수평선에 놓이고, 허수는 수직선 위에 위치한다.

허수 단위(imaginary unit 또는 unit imaginary number) 는 제곱해서 -1이 되는 복소수를 말한다. 즉 이차 방정식 을 만족하는 근 중 하나인 라 표기한다. 이러한 성질을 만족하는 실수는 존재하지 않으므로 를 통해 실수 체계를 복소수 체계로 확장할 수 있다. 이때 확장된 덧셈곱셈은 여전히 결합 법칙교환 법칙, 그리고 분배 법칙을 만족함을 알 수 있다. 복소수에서는 상수 아닌 모든 다항식이 적어도 한 개의 근을 가진다는 사실이 알려져 있다(대수적으로 닫힌 체 또는 대수학의 기본 정리 참조).

제곱해서 이 되는 복소수는 두 개, 즉 가 있다. 따라서 영 아닌 모든 실수는 두 개의 복소수 제곱근을 갖는다. 한편 영은 한 개의 제곱근만을 갖는다.

전자공학 등의 분야에서는 전류의 기호로 를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 로 표기하는 경우도 있다.

정의편집

허수  는 다음과 같이 제곱해서  이 되는 수로 정의한다.

  또는  

위의 정의로부터 간단한 계산을 통하여    모두  의 제곱근임을 알 수 있다.

직관적으로 허수를 받아 들이기에 실수보다 어렵지만 수학의 관점에서 허수를 만드는 과정은 완벽하다. 수식을 다룰 때  를 미지수로 여기고,  이 나타나면 정의를 이용하여  로 바꾸는 것을 통해 실수의 연산을 허수 그리고 복소수로 확장할 수 있다.  의 세제곱, 네제곱, 다섯제곱 등은 다음과 같이 바꿀 수 있다.

 
 
 

또한, 임의의 영 아닌 실수처럼 다음이 성립한다.

 

복소수로서  직교 형식으로 나타내면  로 1 단위의 허수 성분을 갖고 실수 성분은 영이다. 극 형식으로  를 나타내면  이다. 즉, 절대값(또는 크기)가  이고 편각(또는 각)이  이다. 복소 평면에서  는 원점으로부터 허수 축(실수 축과 직각을 이루는)을 따라   단위의 위치에 있는 점이다.

i 그리고 i편집

이차 방정식  은 중근을 갖지 않고 서로 다른 두 근을 갖는다. 이 두 근은 동등한 자격을 가지고 각각이 서로 다른 근의 덧셈과 곱셈의 역원이다. 좀 더 정확하게 방정식의 한 근  가 주어지면  와는 다른 값인  도 근이 된다. 방정식이  의 정의로 주어졌기 때문에  의 정의는 모호해 보인다(정확하게는 잘 정의된 것이 아니다). 그러나, 근 중의 하나를 골라  라 하고 다른 근을  라 하면 모호함이 사라진다. 이러한 이유는   가 양적으로 똑같지는 않지만(두 수는 각각 서로 다른 수의 음수),   를 대수적으로 구별할 수 없기 때문이다. 두 허수는 제곱해서  이 되는 수로서 동등한 자격을 갖는다.

성질편집

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  •   (이상, n은 정수)
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  •  

오일러 공식편집

허수 단위를 e지수에 넣었을 때의 값을 계산하는 공식이 있다. 이를 오일러 공식이라 한다. 오일러 공식은 다음과 같다.

 

그로부터 다음과 같은 공식도 얻을 수 있다.

 
 

계승편집

허수 단위  에 대한 계승  감마 함수로 표현될 수 있다.

 

 절댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

i의 i제곱편집

오일러 공식

 

  (여기서 n은 정수)를 대입하면

 

이 된다. 이제 양변에 i제곱을 취하면 지수법칙에 의해

 

이라고 할 수 있다.(복소수에서 지수법칙을 사용하기 위해서는 보다 엄밀한 논증을 거쳐야 하지만, 이곳에서는 그냥 넘어가기로 한다.)

정의에 의해  이므로,

 

을 얻는다.

여기에 주 분지 을 대입한다면,  의 수치적 값은 다음과 같이 계산된다.

  (OEIS의 수열 A049006)

모든 가능한 분지에 대해,  의 값은 실수이며, 또한 초월수이다.

함께 보기편집