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유클리드 평면에서 헬리의 정리: 볼록 집합의 집합에 대해서 집합의 원소 세 개의 교집합이 공집합이 아니라면, 전체의 교집합은 공집합이 아니다.

헬리의 정리볼록 다각형교집합에 관한 이산 기하학의 기본적인 결과이다. 이것은 1913년에 에두아르트 헬리가 발견했다[1]. 하지만 1923년까지는 그는 출판하지 않았고, 그 때는 이미 Radon (1921)와 König (1922)에 의해서 다른 증명이 나왔었다. 헬리의 정리는 헬리족의 개념을 제시했다.

명제편집

X1, ..., Xnn > dRd의 볼록 부분집합의 유한한 집합이라고 하자. 만약 모든 이 집합의 원소 d + 1개의 교집합이 공집합이 아니라면, 전체 집합의 교집합도 공집합이 아니다;

 

무한한 집합에서는 콤팩트성을 가정해야 한다:

{Xα} Rd콤팩트 볼록 부분집합의 집합이라고 가정하면, 크기d + 1인 모든 부분집합의 교집합이 공집합이 아니라고 하면, 전체 집합의 교집합도 공집합이 아니다.

증명편집

Radon (1921)가 라돈의 정리를 통해서 유한한 경우를 증명했다. 그러면 무한한 경우는 콤팩트성유한 교집합 성질 특성화를 따른다: 콤팩트 공간의 닫힌 부분집합의 집합은 모든 유한한 부분집합의 교집합이 공집합이 아닐 때만 공집합이 아니다 (한번 한 집합을 고정하면, 그것을 포함하는 다른 모든 것들의 교집합은 고정한 콤팩트 공간의 닫힌 부분집합이다).

증명은 귀납법으로 이루어졌다:

기본적인 경우: n = d + 2라고 가정하면, 가정에 의해 모든 j = 1, ..., n에 대해서 Xj의 가능한 예와가 있는 모든 Xi의 공통 교집합의 점 xj가 있다. 이제 A = {x1, ..., xn}에 라돈의 정리를 사용한다. AA1볼록 폐포A2 의 볼록폐포와 교차하는 A의 서로소 부분집합 A1, A2을 준다. p가 이 두 볼록 폐포의 교집합에 있는 점이라고 가정하자. 그러면 다음과 같이 말할 수 있다:

 

이제, 어떤 j ∈ {1, ..., n}에 대하여 생각하자. pXj를 증명해야만 한다. Xj에 있지 않을 수 있는 A의 원소는 xj라는 것을 기억하라. xjA1일 경우에는, xjA2이고, 따라서 XjA2이다. Xj가 볼록이기 때문에, 이것은 또한 A2의 볼록 폐포를 포함하고 따라서 또한 pXj이다. 비슷하게, xjA1이면, XjA1이고, 같은 추론으로 pXj이다. p가 모든 Xj에 있기 때문에, 이것은 반드시 교집합에 있어야 한다.

위에서, 점 x1, ..., xn들은 모두 떨어져 있다고 가정했다. 이렇지 않은 경우에는, 일부 ik에 대해서 xi = xk라고 하면, xi는 집합 Xj의 전부에 있다, 그리고 다시 교집합은 공집합이 아니라고 결론지을 수 있다. 이것은 n = d + 2인 경우의 증명을 완성한다.

귀납적 단계: n > d + 2이고 n−1일 때 위의 명제가 참이라고 가정하자. 위의 증명은 어떤 집합 d + 2 개의 부분집합의 교집합은 공집합이 아니라는 것을 보인다. 이제는 두 집합 Xn−1Xn을 하나의 집합 Xn−1Xn으로 바꾼 집합을 고려한다. 이 새로운 집합에서, 모든 집합 d + 1 개의 부분집합의 교집합은 공집합이 아니다. 따라서 유도 가설이 적용되고, 이 새로운 집합의 교집합이 공집합이 아니라는 것을 보인다. 이것은 원래의 집합에 동일하게 적용되고, 증명을 완성한다.

같이 보기편집

참조편집

  • Bollobás, B. (2006), 〈Problem 29, Intersecting Convex Sets: Helly's Theorem〉, 《The Art of Mathematics: Coffee Time in Memphis》, Cambridge University Press, 90–91쪽, ISBN 0-521-69395-0 .
  • Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963), 〈Helly's theorem and its relatives〉, 《Convexity》, Proc. Symp. Pure Math. 7, American Mathematical Society, 101–179쪽 .
  • Eckhoff, J. (1993), 〈Helly, Radon, and Carathéodory type theorems〉, 《Handbook of Convex Geometry》 A, B, Amsterdam: North-Holland, 389–448쪽 .
  • Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 137, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
  • Helly, E. (1923), “Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten”, 《Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung32: 175–176 .
  • König, D. (1922), “Über konvexe Körper”, 《Mathematische Zeitschrift》 14 (1): 208–220, doi:10.1007/BF01215899 .
  • Radon, J. (1921), “Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten”, 《Mathematische Annalen83 (1–2): 113–115, doi:10.1007/BF01464231 .