형식적 멱급수

대수학에서, 형식적 멱급수(중국어: 形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다.

정의편집

 에 대한 형식적 멱급수환  는 집합으로서  이다. 형식적 멱급수환에서, 원소

 

는 통상적으로

 

으로 쓴다.

  위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우  -가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 으로 만들 수 있다.

 

이에 따라  는 결합  -대수를 이룬다.

형식적 멱급수환의 원소를 형식적 멱급수라고 한다.   을 뜻한다.

미분편집

형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은  -선형 연산

 
 

이 존재하며, 이를 미분이라고 한다.

합성편집

임의의  가 주어졌고,  이라고 하자 (즉,  ). 그렇다면   합성  은 다음과 같다.

 

만약  가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

성질편집

 에 대하여,

  • 만약  가환환이라면,   역시 가환환이다.
  • 만약  가환 뇌터 환이라면,   역시 가환 뇌터 환이다.
  • 만약  정역이라면,   역시 정역이다.
  • 만약  라면,  이산 값매김환이다.

형식적 멱급수환의 원소

 

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  가역원이다.
  •  가역원이다.

구체적으로,  의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

 
 

거리 공간 구조편집

형식적 멱급수환   위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

 

형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다.[1]:132, §III.7, Exercise 5 이는 다항식환  완비화이다.[1]:132, §III.7, Exercise 6

이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수

 

는 부분합의 점렬

 

의 극한이다.

형식적 로랑 급수편집

 에 대하여, 형식적 로랑 급수체  은 형식적 멱급수환의 분수체이다.

 

정의에 따라, 이는 를 이룬다. 구체적으로,  

 

의 꼴로 전개할 수 있다 ( ). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학로랑 급수와 다르다.

다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는

 
 
 

가 성립하지만,   는 서로 다른 체이다. 일반적으로,   의 부분환이며, 단사 준동형

 
 

이 존재한다. 예를 들어,

 
 

이다. 그러나   동형 사상이 아니다. 예를 들어,

 

이다.[2]

같이 보기편집

각주편집

  1. Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732. 
  2. “Explicit elements of K((x))((y))∖K((x,y))” (영어). Math Overflow. 

외부 링크편집