호지 쌍대

미분기하학에서, 호지 쌍대(Hodge雙對, Hodge dual)는 미분 형식을 그 여차원의 미분 형식으로 변환시키는 연산이다. 기호는 별표(). 호지 별표(Hodge star)로도 부른다.

정의편집

  차원 유향 리만 다양체 또는 준 리만 다양체이고,  가 그 위에 정의된  미분 형식이라고 하자 ( ). 그렇다면, 준 리만 계량의 음악 동형을 통하여,  차 미분 형식을  차 완전 반대칭 텐서로 대응시킬 수 있다.

 

지표로 쓰면 이는 다음과 같다.

 

이제,  호지 쌍대는 다음과 같다.

 

여기서

  •   차 완전 반대칭 텐서와  차 미분 형식 사이의 내부곱이다.
  •  는 준 리만 계량 및 방향으로 정의되는 부피 형식이다.

지표로 쓰면,

 

이므로,

 

이다. 여기서   차원 레비치비타 기호이다.

벡터 값 미분 형식의 호지 쌍대편집

보다 일반적으로, 유향 준 리만 다양체   위의 벡터 다발  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  값의  차 미분 형식  에 대하여 마찬가지로 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

 
 

즉, 성분으로 쓰면 다음과 같다.

 

성질편집

쌍대성편집

  차원 준 리만 다양체 위에 정의된  차 미분 형식이라고 하자. 그렇다면

 

이다. 특히, 만약  이 짝수라면, 이는 선형 변환

 

을 정의한다. 만약  인 경우, 가운데 차수 미분 형식은 자기 쌍대 미분 형식(영어: self-dual differential form)

 

자기 반쌍대 미분 형식(영어: anti-self-dual differential form)

 

으로 분해된다.

 

만약  인 경우, 이는 가운데 차수 미분 형식의 실수 벡터 공간복소구조를 정의한다.

내적편집

이제, 다음과 같은 내적을 생각하자.

 

이는 물론 수렴하지 않을 수 있다. 그러나 부분 공간

 

위에서 이 연산은 잘 정의되며, 이에 대한 완비화를 취하면 이는 실수 힐베르트 공간을 이룬다. 이를  로 표기하자. ( 인 경우 이는 르베그 공간  과 같다.) 이에 대하여 마찬가지로 쐐기곱을

 

로 정의할 수 있다.

그렇다면, 임의의  에 대하여 다음이 성립한다.

 

즉, 이 경우 호지 쌍대 연산은 힐베르트 공간의 내적과 쐐기곱 사이의 변환이다.

공미분편집

미분 형식의 공미분(codifferential)  는 미분 형식의 차수를 1 증가시키는 연산으로, 외미분  에 대응하는 연산이다. 이는 다음을 만족한다.

 .

따라서 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.   차 형식이라면,

 

이다.

공미분은 외미분과 마찬가지로 항등식  을 만족시킨다.

미분 형식에 대한 라플라스-벨트라미 연산자  는 공미분을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

 .

역사편집

윌리엄 밸런스 더글러스 호지호지 이론의 일부로서 도입하였다.

외부 링크편집