호지 이론

호지 이론(Hodge理論, 영어: Hodge theory)은 리만 다양체라플라스 연산자코호몰로지를 다루는 이론이다.

리만다양체의 호지 이론편집

매끄러운 n차원 콤팩트 가향 리만 다양체  를 생각하자. 이 위에  미분 형식  을 정의할 수 있다. 이 경우 미분 형식 층은 드람 복합체

 

를 이룬다. 여기서  외미분이다. 이 복합체로 정의한 코호몰로지는 드람 코호몰로지  이다.

이제 (외)미분의 (형식적인) 딸림연산자(adjoint)를 생각하자. 즉 다음을 만족하는 연산자  를 생각하자. 임의의  ,  에 대하여,

 

(여기서   차 미분 형식의 내적으로, 리만 계량으로부터 정의한다.) 이러한 연산자  를 찾을 수 있으며, 공미분(codifferential)이라고 부른다. 이는 다음과 같다.

 

여기서  호지 별연산자(영어: Hodge star operator)라 불리는 연산자로, 형식을 레비치비타 기호와 축약시키는 연산이다.

이제 라플라스 연산자  를 다음과 같이 정의한다.

 

라플라스 연산자의 값이 0인 형식을 조화 형식(調和形式, 영어: harmonic form)이라 부른다. 즉  이면  는 조화 형식이다. 모든 조화 형식은 미분과 공미분에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 즉  이면  이며  이다.

호지 분해와 호지 정리편집

임의의  차 미분 형식  는 다음과 같이 유일하게 분해할 수 있다.

 

여기서  는 조화 형식이다. 즉, 임의의 미분 형식을 조화 성분과 닫힌 성분, 공닫힌(coclosed) 성분으로 유일하게 분해할 수 있다. 이를 호지 분해(Hodge decomposition)이라고 한다.

만약  가 닫힌 형식이라면 ( ) 공닫힌 성분은 항상 0이다. 즉

 

이다. 여기서 조화 성분만을 취하면,  차 조화 형식의 벡터 공간   차 드람 코호몰로지  과의 동형사상을 얻는다. 즉,

 

이다. 이를 호지 정리(영어: Hodge's theorem)라고 하고, 호지가 최초로 증명하였다. 다시 말하면, 임의의 코호몰로지 동치류  에서 유일한 조화 형식인 대표  를 찾을 수 있다.

복소다양체의 호지 이론편집

n차원 복소다양체  과 그 위에 정의된 (1,1)-형식 (에르미트 형식)  를 생각하자. 이 형식이  를 만족한다고 가정하자. 이 경우,  에르미트 다양체로 불리며, 복소다양체에서 리만 구조와 유사한 개념이다. 이 경우, 돌보 연산자(Dolbeault operator)  ,  을 생각하자. 에르미트 형식을 써서 내적

 

를 정의한다. 이 내적을 써서 딸림연산자   를 정의할 수 있다. 이를 써서 라플라스 연산자

 
 

를 정의한다. 라플라스 연산자가 0인 형식을 마찬가지로 조화 형식으로 일컫는다.

이들도 마찬가지로

 
 

임을 보일 수 있다. 이 경우에도 마찬가지로 호지 정리가 성립한다. 즉  에 대한 조화 형식의 벡터 공간은 돌보 코호몰로지 공간  과 동형이다.

이 밖에도, 에르미트 다양체는 리만 다양체를 이루므로, 실수다양체의 경우와 같이  를 기반으로 라플라스 연산자

 

를 정의할 수 있다. 즉 에르미트 공간에는  ,  ,   세 개의 라플라스 연산자와 그에 관련된 호지 코호몰로지가 존재한다.

만약 에르미트 형식이 닫혀 있다면 ( )  켈러 다양체를 이룬다. 이 경우 라플라스 연산자 사이에 다음 관계가 성립한다.

 

따라서 어느 라플라스 연산자를 쓰는지에 상관없이 같은 코호몰로지를 얻는다.

역사편집

윌리엄 밸런스 더글러스 호지가 1930년대에 도입하였고, 1941년 《조화 적분의 이론과 응용》[1] 에 집대성하였다. (여기서 "조화 적분"은 조화 형식을 호지가 불렀던 이름이다.)

참고 문헌편집

  1. Hodge, W.V.D. (1941). 《Theory and Applications of Harmonic Integrals》 (영어). Cambridge University Press. 

같이 보기편집

외부 링크편집