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호프 올뭉치

(호프 다발에서 넘어옴)
호프 올뭉치의 형상화. 왼쪽 위에는 3차원 구 (를 3차원 공간 에 사영한 모습), 오른쪽 아래에는 2차원 구 이다. 다발 구조를 보이기 위하여 2차원 구의 부분집합과 그 각 점에 대응하는 올을 같은 색깔로 표시하였다.

위상수학에서, 호프 올뭉치(영어: Hopf fibration)는 가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다.

정의편집

노름을 가진 나눗셈 대수  와 그 차원  가 주어졌다고 하자. 다시 말해,  실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수 대수 가운데 하나이고 각각의 경우  이다. 그러면 다음과 같이  의 원소 두 개의 순서쌍으로 초구  를 만들고 동치관계  을 정의할 수 있다.

 
  ( ,  )

이 때,

 

을 얻는다. 즉,    위에 올다발을 이루며, 그 올은  인 것을 알 수 있다. 이를 호프 올뭉치라고 한다. 이에 따라, 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다.

  (실수)
  (복소수)
  (사원수)
  (팔원수)

일반화편집

보다 일반적으로, 결합 나눗셈 대수   ( )에 대하여,  -사영 공간에 대한 주다발

 

을 정의할 수 있다. 이는 각각 다음과 같다.

  • 실수:  . 이는 2차 순환군  에 대한 주다발이다.
  • 복소수:  . 이는 원군  에 대한 주다발이다.
  • 사원수:  . 이는  SU(2)에 대한 주다발이다.

마찬가지로, 두 나눗셈 대수의 포함 관계  에 대하여,  ,  일 때, 올다발

 

을 정의할 수 있다.

  • 실수복소수:  . 이는 원군에 대한 주다발이다.
  • 복소수사원수:  .  에는 리 군 구조가 존재하지 않으므로, 이는 주다발이 아닌 올다발이다.
    • 특히,  는 콤팩트화 4차원 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계이다.
  • 실수사원수:  . 이는  에 대한 주다발이다.

반면, 이는 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 정의할 수 없다.[1]

역사편집

1931년 하인츠 호프 을 발견하였다.[2] 그는 1935년에 다른 차원일 때의 경우를 발표했다.[3]

응용편집

물리학, 특히 양자역학에 등장한다.[4] 자기 홀극전자기 퍼텐셜은 호프 올뭉치를 이룬다.[5]

참고 문헌편집

  1. Loo, B.; Verjovsky, A. (1994). “On quotients of Hopf fibrations”. 《Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste》 (영어) 26: 103–108. 
  2. Hopf, Heinz (1931). “Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 104 (1): 637–665. doi:10.1007/BF01457962. JFM 57.0725.01. Zbl 0001.40703. 
  3. Hopf, Heinz (1935). “Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 25: 427–440. Zbl 0012.31902. 
  4. Mosseri, R.; R. Dandoloff (2001). “Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 (영어) 34 (47): 10243–10252. arXiv:quant-ph/0108137. Bibcode:2001JPhA...3410243M. doi:10.1088/0305-4470/34/47/324. 
  5. Urbantke, H.K. (2003). “The Hopf fibration — seven times in physics” (PDF). 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 46 (2): 125–150. Bibcode:2003JGP....46..125U. doi:10.1016/S0393-0440(02)00121-3.