호프 올뭉치

위상수학에서 호프 올뭉치(영어: Hopf fibration)는 구가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다.

호프 올뭉치의 형상화. 왼쪽 위에는 3차원 구 $\mathbb {S} ^{3}$(를 3차원 공간 $\mathbb {R} ^{3}$에 사영한 모습), 오른쪽 아래에는 2차원 구 $\mathbb {S} ^{2}$이다. 다발 구조를 보이기 위하여 2차원 구의 부분집합과 그 각 점에 대응하는 올을 같은 색깔로 표시하였다.

정의

노름을 가진 나눗셈 대수 $X$와 그 차원 $n:=\dim X$가 주어졌다고 하자. 다시 말해, $X$는 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수 대수 가운데 하나이고 각각의 경우 $n=1,2,4,8$이다. 그러면 다음과 같이 $X$의 원소 두 개의 순서쌍으로 초구 $\mathbb {S} ^{2n-1}$를 만들고 동치관계 $\sim$을 정의할 수 있다.

$\mathbb {S} ^{2n-1}=\{(x_{1},x_{2})|1=|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2};x_{1},x_{2}\in X\}\subset X^{2}$

$(x_{1},x_{2})\sim (\lambda x_{1},\lambda x_{2})$ ($\lambda \in X$, $|\lambda |=1$)

이 때,

$\mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{2n-1}/{\sim }$

을 얻는다. 즉, $\mathbb {S} ^{2n-1}$은 $\mathbb {S} ^{n}$ 위에 올다발을 이루며, 그 올은 $\mathbb {S} ^{n-1}$인 것을 알 수 있다. 이를 호프 올뭉치라고 한다. 이에 따라, 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다.

$\mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{1}$ (실수)

$\mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}$ (복소수)

$\mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}$ (사원수)

$\mathbb {S} ^{7}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{15}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{8}$ (팔원수)

일반화

보다 일반적으로, 결합 나눗셈 대수 $\mathbb {K}$ ($\dim K=k$)에 대하여, $\mathbb {K}$-사영 공간에 대한 주다발

$\mathbb {S} ^{k-1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{k(n+1)-1}\twoheadrightarrow \mathbb {KP} ^{n}$

을 정의할 수 있다. 이는 각각 다음과 같다.

• 실수: $\mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {RP} ^{n}$. 이는 2차 순환군 $\mathbb {S} ^{0}=\operatorname {Cyc} (2)$에 대한 주다발이다.
• 복소수: $\mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {CP} ^{n}$. 이는 원군 $\mathbb {S} ^{1}=\operatorname {U} (1)$에 대한 주다발이다.
• 사원수: $\mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}$. 이는 $\mathbb {S} ^{3}=$SU(2)에 대한 주다발이다.

마찬가지로, 두 나눗셈 대수의 포함 관계 $\mathbb {K} \subsetneq \mathbb {L}$에 대하여, $\dim \mathbb {L} /\dim \mathbb {K} =p$, $\dim \mathbb {L} =l$일 때, 올다발

$\mathbb {KP} ^{p-1}\hookrightarrow \mathbb {KP} ^{p(n+1)-1}\twoheadrightarrow \mathbb {LP} ^{n}$

을 정의할 수 있다.

• 실수 ⊂ 복소수: $\mathbb {S} ^{1}=\mathbb {RP} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {RP} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {CP} ^{n}$. 이는 원군에 대한 주다발이다.
• 복소수 ⊂ 사원수: $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {CP} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {CP} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}$. $\mathbb {S} ^{2}$에는 리 군 구조가 존재하지 않으므로, 이는 주다발이 아닌 올다발이다.
  • 특히, $\mathbb {S} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {CP} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}=\mathbb {HP} ^{1}$는 콤팩트화 4차원 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계이다.
• 실수 ⊂ 사원수: $\mathbb {RP} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {RP} ^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}$. 이는 $\operatorname {RP} ^{3}=\operatorname {SO} (3)$에 대한 주다발이다.

반면, 이는 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 정의할 수 없다.

역사

1931년 하인츠 호프가 $\mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}$을 발견하였다. 그는 1935년에 다른 차원일 때의 경우를 발표했다.

응용

물리학, 특히 양자역학에 등장한다. 자기 홀극의 전자기 퍼텐셜은 호프 올뭉치를 이룬다.

참고 문헌

• Lyons, David W. (2003년 4월). “An elementary introduction to the Hopf fibration” (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) 76 (2): 87–98. doi:10.2307/3219300. ISSN 0025-570X. JSTOR 3219300. 
• Treisman, Zachary (2009년 8월). “A young person’s guide to the Hopf fibration” (영어). arXiv:0908.1205. Bibcode:2009arXiv0908.1205T. 
• Steenrod, Norman (1951). 《The Topology of Fibre Bundles》 (영어). Princeton Mathematical Series 14. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. MR 0039258. Zbl 0942.55002. 
• Cederwall, Martin (1993년 10월). “Introduction to division algebras, sphere algebras and twistors” (영어). arXiv:hep-th/9310115. Bibcode:1993hep.th...10115C.