확률 변수

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확률론에서, 확률 변수(確率變數, 영어: random variable)는 확률적인 과정에 따라 값이 결정되는 변수를 말한다.[1] 이는 엄밀히 말하자면 시행 결과에 대한 집합인 확률 공간에서 가측 공간으로 가는 가측 함수를 의미한다.[2] 같은 확률 공간에 정의된 여러 확률 변수에 대하여, 이들의 조건부 확률이나 독립 여부를 정의할 수 있다.

확률 변수가 어떻게 함수로 기능하는지에 대한 그림. 시행 결과인 확률 공간의 원소 앞면(Head)과 뒷면(Tail)이 가측 공간의 +1과 -1로 대응되고 있다. 또한 빨간 화살표로 확률 밀도 함수도 보여준다.

확률 변수는 아직 실제로 나타나지는 않았지만 나타날 가능성이 있는 모든 경우의 수에 해당하는 값을 가질 수 있다. 주사위를 굴리는 등 실제로 무작위적인 시행에 대해서도 쓸 수 있고, 양자역학처럼 예측 불가능한 물리적 변수의 시행 결과에 대해서도 확률 변수라는 단어를 사용한다. 이처럼 정확히 알지 못하는 어떤 양적 변수의 잠재적인 결과에 대해 확률이라는 단어를 쓸 수 있는가에 대한 논의도 오랜 시간동안 이루어져왔다.

함수로서 확률 변수는 가측 함수여야 한다. 확률 변수의 정의역은 가능한 시행 결과들을 담고 있으며, 일반적으로 표본 공간이라 부른다. 동전 던지기의 경우 앞면과 뒷면이 표본공간의 원소가 된다.

정의편집

확률 공간   위의, 가측 공간  의 값을 가지는 확률 변수가측 함수  를 뜻한다. (즉,  이며, 임의의 가측 집합  에 대하여, 원상  이다.) 확률론에서는 측도론의 용어를 다음과 같이 대체한다.

  • 확률 변수의 정의역  은 확률 변수의 확률 공간이다. 표본 공간  의 원소는 어떤 시행의 결과를 나타낸다.
  • 확률 변수의 공역  은 확률 변수의 상태 공간(狀態空間, 영어: state space)이다.

(즉, 확률 변수가 상태들의 가측 집합 속의 값을 취하는 사건과 그 확률을 생각할 수 있다.)

확률 변수  는 그 상태 공간   위에 다음과 같은 확률 측도  를 유도한다.

 

이는 확률 변수    속의 값을 가질 확률이라고 한다. 여기서

 

이다.

만약 상태 공간이 위상 공간인 경우, 상태 공간은 통상적으로 보렐 시그마 대수를 사용한다. 예를 들어, 실수 값을 갖는 확률 변수는 실수의 보렐 시그마 대수에 대한 가측 함수이다. (반면, 보렐 시그마 대수 대신 르베그 가측 집합의 시그마 대수를 사용하면, 연속 함수이지만 가측 함수가 아닌 함수들이 존재하게 된다.)

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주사위를 던져 나오는 눈의 수를 추상화한 확률 공간

 
 

을 생각하자. 즉, 1부터 6까지의 수가 나올 수 있으며, 각각의 수가 나올 확률은 같다. 이제 다음과 같은 확률 변수를 생각하자.

 
 
 

즉,  는 짝수가 나왔을 경우 0, 홀수가 나왔을 경우 1을 취한다. 그렇다면 주사위를 던져 짝수가 나올 확률은 다음과 같다.

 

마찬가지로, 홀수가 나올 확률은 다음과 같다.

 

각주편집

  1. Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). 《Introduction to Probability》. CRC Press. ISBN 9781466575592. 
  2. Steigerwald, Douglas G. “Economics 245A – Introduction to Measure Theory” (PDF). University of California, Santa Barbara. 2013년 4월 26일에 확인함. 

참고 문헌편집

  • Doob, Joseph L. (1996년 8월). “The development of rigor in mathematical probability (1900–1950)”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 103 (7). doi:10.2307/2974673. ISSN 0002-9890. JSTOR 2974673. MR 1404084. Zbl 0865.01011. 
  • Kersting, Götz; Wakolbinger, Anton (2014). 《Zufallsvariable und Stochastische Prozesse》 (독일어). Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8432-6. 
  • Fahrmeir, Ludwig; Künstler, Rita; Pigeot, Iris; Tutz, Gerhard (2012). 《Statistik: Der Weg zur Datenanalyse》 (독일어) Auflage 7판. Springer. ISBN 978-3-6420-1938-8. 
  • Papula, Lothar (2011). 《Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3》 (독일어) Auflage 6판. Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3-8348-1227-8. 

외부 링크편집