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정의편집

이항 연산  을 가진 대수 구조  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  중심  은 다음과 같은 부분 집합이다.

 

일부 대수 구조의 경우, 이는  의 부분 대수를 이룬다.

중심의 기호는 보통  인데, 이는 중심을 뜻하는 독일어: Zentrum 첸트룸[*]의 머릿글자다.

성질편집

만약 이항 연산에 대한 항등원  이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.

 

만약 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소  에 대하여 역원  이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.

 

이는 임의의  에 대하여

 

이기 때문이다. 그러나 이는 결합 법칙 없이는 성립하지 않는다.

주요 대수 구조의 중심편집

군의 중심편집

 의 중심   정규 부분군을 이룬다. 하지만 이는 항상 아벨 군을 이루지는 않는다. 아벨 군의 경우,  이다.

모노이드의 중심편집

모노이드  의 중심  은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우,  이다.

환의 중심편집

유사환  의 중심은 곱셈  에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며,    위의 결합 대수를 이룬다.

 의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 부분환을 이루며,   위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

나눗셈환  의 중심  를 이루며,  는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

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군의 중심편집

대표적인 군의 중심은 다음과 같다.

중심
사원수군    
대칭군   ( ) 자명군
교대군   ( ) 자명군
일반선형군    
직교군    

환의 중심편집

사원수나눗셈환  의 중심은 실수체  이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환  의 중심은 스칼라 행렬

 

이다. 행렬환은 이에 따라   위의 단위 결합 대수를 이룬다.

참고 문헌편집

외부 링크편집

같이 보기편집