활력방정식

천체역학에서, 활력방정식(活力方程式, vis-viva equation)은 다른 물체를 공전하는 어떤 물체의 속도를 궤도의 장반경과 초점으로부터 물체까지의 거리로 나타내는 방정식이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$v^{2}=\mu \left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)$

• $v\,\!$ : 궤도 운동하는 물체의 속도
• $r\,\!$ : 중심 천체부터의 거리
• $a\,\!$ : 장경의 절반, 긴반지름 ($a>0$ 이면 타원, $a=\infty$ 이거나 ${\frac {1}{a}}=0$ 이면 포물선, 그리고 $a<0$ 이면 쌍곡선)
• $\mu \,\!$ : 중심 물체의 질량과 중력상수의 곱, $GM\,$.

유도

궤도운동하는 물체의 질량을 m이라 하자. 궤도에서 물체의 총에너지는 물체의 운동에너지와 위치에너지의 합과 같다.:

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {GMm}{r}}\,$

그리고 궤도를 원 또는 타원이라고 하면, 총에너지는 다음 식으로 놓을 수 있다.:

$E={\frac {-GMm}{2a}}\,$

a는 타원의 장축의 절반, 긴반지름이다. (또는 원의 반지름).

두 에너지식을 같다고 놓고 운동에너지식을 한 쪽으로 옳기면 다음 식을 얻는다.

${\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMm}{r}}+{\frac {-GMm}{2a}}$

$v^{2}={\frac {2}{m}}\left({\frac {GMm}{r}}+{\frac {-GMm}{2a}}\right)$

동일한 항을 지우고, 식을 정리하면 다음을 얻는다.

$v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$.

GM을 $\mu$로 놓을 수도 있다.

외부 링크

• 활력방정식 계산기