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기하학에서, 3차원 초구(三次元超球, 영어: 3-sphere, glome)는 4차원 공간 속의 단위 벡터로 구성된 리만 다양체이다. 그 위에는 리 군 SU(2)의 구조를 줄 수 있다.

정의편집

3차원 초구는 다음과 같이 대칭 공간을 이룬다.

 
 

또한,  는 노름 1의 사원수의 공간으로 여길 수 있다.

 

리만 구   위의 정칙 선다발  에 대응하는 U(1) 주다발의 전체 공간은  와 동형이다. 이는 호프 올다발

 

을 정의한다.

성질편집

좌표계편집

3차원 초구 위에는 여러 개의 유용한 좌표계들이 존재한다.

구면 좌표계편집

3차원 초구 위에는 구면 좌표계를 사용할 수 있다. 즉, 좌표  에 대하여

 
 
 

이며, 매장  은 다음과 같다.

 

이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.

 

부피 형식은 다음과 같다.

 

호프 좌표계편집

3차원 초구 위의 호프 좌표계(Hopf座標系, 영어: Hopf coordinate system)  는 다음과 같다.[1]:§2,§8

 
 

매장  은 다음과 같다.

 

이 좌표계에서 3차원 초구의 리만 계량은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.

 

부피 형식은 다음과 같다.

 

이 좌표계에서, 호프 올다발은 다음과 같다.

 
 

여기서   위의 좌표는 구면 좌표계이다. 즉,

 
 

라고 적으면,

 
 

이므로

 

가 되며,

 

이 된다.

군의 작용편집

  위에는 리 군  가 작용한다. 그 가운데  은 SU(2)의, 스스로 위의 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 작용에 해당한다.

호프 올다발로 인하여,    위의 U(1) 주다발을 이루며, 이는  의 작용을 정의한다. 이는  의 부분군이다.

연속 함수편집

리 군 SU(2)의 곱셈 연산에 해당하는 매끄러운 함수

 

가 존재한다. 이는 노름 1의 사원수의 곱셈으로 생각할 수도 있다.

미분 형식편집

호프 올다발에 의하여,  의 부피 형식을  에 당길 수 있다. 이는 물론 2차 완전 미분 형식이다. 이는 호프 올다발의 U(1)×SO(3) 대칭 가운데 U(1)의 작용에 대하여 불변이다.

참고 문헌편집

  1. Yershova, Anna; Jain, Swati; LaValle,, Steven M.; Mitchell, Julie C. (2010년 6월). “Generating uniform incremental grids on SO(3) using the Hopf fibration” (PDF). 《The International Journal of Robotics Research》 (영어) 26 (7). PMC 2896220. doi:10.1177/0278364909352700. 

외부 링크편집