리 군론 에서 6차원 회전군 (六次元回轉群, 영어 : six-dimensional rotation group )은 6차원 유클리드 공간 의, 원점을 보존하는 등거리 변환 의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 복소수 의 4×4 특수 유니터리 군 으로도 나타내어질 수 있다.
6차원 회전군 은 6차원 실수 계수 직교군
O
(
6
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (6;\mathbb {R} )}
딘킨 도표 는
∙
−
∙
−
∙
{\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet }
이다.
6차원 스핀 군 은 4차원 특수 유니터리 군 SU(4)와 동형이다.
Spin
(
6
)
≅
SU
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}
즉,
SO
(
6
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (6;\mathbb {R} )}
SU
(
4
)
/
(
Z
/
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)}
그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다.
킬링 형식 의 부호수기호
직교군 기호
유니터리·선형군 기호
사타케 도표 보건 도표 비고
(0,15)
Spin(6)
SU(4)
∙
−
∙
−
∙
{\displaystyle \bullet -\bullet -\bullet }
∘
−
∘
−
∘
{\displaystyle \circ -\circ -\circ }
콤팩트 형태
(5,10)
A₃Ⅱ, D₃Ⅱ
Spin(1,5)
SL
(
2
;
H
)
=
SU
∗
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {SU} ^{*}(4)}
∙
−
∘
−
∙
{\displaystyle \bullet -\circ -\bullet }
∘
−
∘
−
∘
⏟
{\displaystyle \underbrace {\circ -\circ -\circ } }
(8,7)
A₃Ⅲ, D₃Ⅱ
Spin(2,4)
SU(2,2)
∘
−
∘
−
∘
⏟
{\displaystyle \underbrace {\circ -\circ -\circ } }
∘
−
∙
−
∘
{\displaystyle \circ -\bullet -\circ }
(9,6)
A₃Ⅰ, D₃Ⅰ
Spin(3,3)
SL
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
∘
−
∘
−
∘
{\displaystyle \circ -\circ -\circ }
∘
−
∙
−
∘
⏟
{\displaystyle \underbrace {\circ -\bullet -\circ } }
분할 형태
(10,5)
A₃Ⅲ, D₃Ⅲ
SO*(6)
SU(3,1)
∘
−
∙
−
∘
⏟
{\displaystyle \underbrace {\circ -\bullet -\circ } }
∙
−
∘
−
∘
{\displaystyle \bullet -\circ -\circ }
사타케 도표 에서, 중괄호 (
m
⏟
{\displaystyle \underbrace {\color {White}m} }
↔
{\displaystyle \leftrightarrow }
Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 마요라나 스피너 이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현
4
{\displaystyle \mathbf {4} }
4
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbf {4} }}}
마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현
6
{\displaystyle \mathbf {6} }
Spin(6)의 군의 중심 은 크기 4의 순환군 이다.
SU
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (4)}
{
i
a
1
4
×
4
:
a
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
}
}
⊊
SU
(
4
)
{\displaystyle \{\mathrm {i} ^{a}1_{4\times 4}\colon a\in \{0,1,2,3\}\}\subsetneq \operatorname {SU} (4)}
에 해당한다. 이 중심은 몫군
SO
(
6
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (6)}
{
±
1
6
×
6
}
{\displaystyle \{\pm 1_{6\times 6}\}}
Spin(3,3)의 군의 중심 은 크기 2의 순환군 이다.
SL
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
{
±
1
4
×
4
}
⊊
SL
(
4
;
R
)
{\displaystyle \{\pm 1_{4\times 4}\}\subsetneq \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
에 해당한다.
Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는
SL
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
SL
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
실수 차원
Spin(3,3) 묘사
SL
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
SL
(
4
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (4;\mathbb {R} )}
영 타블로
4
오른쪽 마요라나-바일 스피너
벡터 (정의 표현)
□
4′
왼쪽 마요라나-바일 스피너
(0,1)-텐서 (쌍대 벡터)
□
6
벡터 (정의 표현)
반대칭 2-텐서
□
10
자기 쌍대 3-텐서
대칭 (2,0)-텐서
□□
10′
자기 반쌍대 3-텐서
대칭 (0,2)-텐서
□□
15
반대칭 2-텐서 (딸림표현 )
무대각합 (1,1)-텐서 (딸림표현 )
□□
20
대칭 무대각합 2-텐서
대칭-반대칭 4-텐서
□□
20′
오른손 벡터-스피너
대칭-반대칭 (3,0)-텐서
□□
20″
왼손 벡터-스피너
대칭-반대칭 (0,3)-텐서
□□
20‴
자기 쌍대 3-텐서-스피너
완전 대칭 (3,0)-텐서
□□□
20⁗
자기 반쌍대 3-텐서-스피너
완전 대칭 (0,3)-텐서
□□□
이들의 텐서곱은 다음과 같다.
4
⊗
4
=
4
′
⊗
4
′
=
6
⊕
10
{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {4} '\otimes \mathbf {4} '=\mathbf {6} \oplus \mathbf {10} }
4
⊗
4
′
=
1
⊕
15
{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} '=\mathbf {1} \oplus \mathbf {15} }
4
⊗
6
=
4
′
⊕
20
′
{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} '\oplus \mathbf {20} '}
4
′
⊗
6
=
4
⊕
20
″
{\displaystyle \mathbf {4} '\otimes \mathbf {6} =\mathbf {4} \oplus \mathbf {20} ''}
Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, 마요라나 스피너 는 존재하지 않는다. 이는
SL
(
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )}
사원수 2차원 정의 표현 (또는
SU
∗
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {SU} ^{*}(4)}
Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은
SL
(
2
;
H
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {H} )}
Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 마요라나 스피너 이다. 이는
SU
(
2
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2,2)}
SO
∗
(
6
)
{\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(6)}
SU
(
1
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (1,3)}
또한,
SU
(
1
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (1,3)}
SO
∗
(
6
)
{\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(6)}
