6차원 회전군

리 군론에서, 6차원 회전군(六次元回轉群, 영어: six-dimensional rotation group)은 6차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(6) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 복소수의 4×4 특수 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

정의편집

6차원 회전군은 6차원 실수 계수 직교군  이다. 그 딘킨 도표

 

이다.

6차원 스핀 군은 4차원 특수 유니터리 군 SU(4)와 동형이다.

 

즉,   이다.

그 실수 형태는 다음 다섯 가지가 있다.

킬링 형식의 부호수 기호 직교군 기호 유니터리·선형군 기호 사타케 도표 보건 도표 비고
(0,15) Spin(6) SU(4)     콤팩트 형태
(5,10) A₃Ⅱ, D₃Ⅱ Spin(1,5)      
(8,7) A₃Ⅲ, D₃Ⅱ Spin(2,4) SU(2,2)    
(9,6) A₃Ⅰ, D₃Ⅰ Spin(3,3)       분할 형태
(10,5) A₃Ⅲ, D₃Ⅲ SO*(6) SU(3,1)    

사타케 도표에서, 중괄호 ( )는 화살표( )를 나타낸다.

성질편집

콤팩트 형태편집

Spin(6)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 8차원 마요라나 스피너이다. 이 표현은 SU(4)의 정의(定義) 표현   및 그 복소수 켤레  에 해당한다.

마찬가지로, SO(6)의 정의(定義) 표현인 6차원 실수 표현  은 실수 조건을 가한 SU(4)의 반대칭 2차 텐서에 해당한다.

Spin(6)의 군의 중심은 크기 4의 순환군이다.  에서, 이는

 

에 해당한다. 이 중심은 몫군  에서 크기 2의 부분군이 되며, 이는 마찬가지로  에 해당한다.

분할 형태편집

Spin(3,3)의 군의 중심은 크기 2의 순환군이다.  에서, 이는

 

에 해당한다.

Spin(3,3)의 최소 스피너는 4차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는  의 정의 표현 및 그 쌍대 표현에 해당한다. SO(3,3)의 6차원 정의 표현은  의 반대칭 2차 텐서 표현에 해당한다.

실수 차원 Spin(3,3) 묘사   묘사   영 타블로
4 오른쪽 마요라나-바일 스피너 벡터 (정의 표현)
4′ 왼쪽 마요라나-바일 스피너 (0,1)-텐서 (쌍대 벡터)

6 벡터 (정의 표현) 반대칭 2-텐서
10 자기 쌍대 3-텐서 대칭 (2,0)-텐서 □□
10′ 자기 반쌍대 3-텐서 대칭 (0,2)-텐서 □□
□□
□□
15 반대칭 2-텐서 (딸림표현) 무대각합 (1,1)-텐서 (딸림표현) □□

20 대칭 무대각합 2-텐서 대칭-반대칭 4-텐서 □□
□□
20′ 오른손 벡터-스피너 대칭-반대칭 (3,0)-텐서 □□
20″ 왼손 벡터-스피너 대칭-반대칭 (0,3)-텐서 □□
□□
20‴ 자기 쌍대 3-텐서-스피너 완전 대칭 (3,0)-텐서 □□□
20⁗ 자기 반쌍대 3-텐서-스피너 완전 대칭 (0,3)-텐서 □□□
□□□
□□□

이들의 텐서곱은 다음과 같다.

 
 
 
 

SO(1,5)편집

Spin(1,5)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이며, 마요라나 스피너는 존재하지 않는다. 이는  사원수 2차원 정의 표현 (또는  의 4차원 복소수 정의 표현)에 해당한다.

Spin(1,5)의 6차원 실수 정의 표현은  에서 사원수 2-텐서 가운데, 어떤 복소수 기저에서도 반대칭 2-텐서가 되는 것들의 표현이다. (사원수는 비가환이므로, 복소수 기저를 고르지 않고서는 (반)대칭성을 논할 수 없다.)

SO(2,4)편집

Spin(2,4)의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 및 마요라나 스피너이다. 이는  의 4차원 정의 표현 및 그 복소수 켤레에 해당한다.

SU(1,3)편집

 은 실수 6차원 정의 표현을 갖는다. 이는  의 반대칭 2-텐서 표현이다.

또한,  의 복소수 4차원 정의 표현 및 그 켤레는  의 왼쪽과 오른쪽 “바일 스피너”에 해당한다.

참고 문헌편집

외부 링크편집