여덟 퀸 문제

(8퀸 문제에서 넘어옴)

8 퀸 문제는 8x8크기의 체스판에 을 8개 배치하는 문제이다. 1848년 막스 베첼이 처음 제안하였다. 이 문제를 일반화하면 NxN 크기의 체스판에 을 N개 배치하는 N 퀸 문제가 된다. 구성적인 해법으로 N이 2,3인경우를 제외하고 해를 찾을 수 있다.

해 중 하나.
abcdefgh
8
Chessboard480.svg
d8 white queen
g7 white queen
c6 white queen
h5 white queen
b4 white queen
e3 white queen
a2 white queen
f1 white queen
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh

편집

8x8의 해를 나열하면 아래와 같다.

해 1
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 2
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 3
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 4
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 5
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 6
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 7
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 8
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 9
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 10
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 11
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
해 12
abcdefgh
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh

N 퀸 문제편집

아래에는 n개의 퀸을 n × n 판에 나타내는 해의 수를 나타내었다. 고유한 해(선대칭이나 점대칭으로 대칭인 해)는 온라인 정수열 사전에서(OEIS의 수열 A002562)에 일반적인 해(대칭을 구별한 해)는(OEIS의 수열 A000170)에 등재되어 있다.

n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 .. 24 25 26
unique: 1 0 0 1 2 1 6 12 46 92 341 1,787 9,233 45,752 .. 28,439,272,956,934 275,986,683,743,434 2,789,712,466,510,289
distinct: 1 0 0 2 10 4 40 92 352 724 2,680 14,200 73,712 365,596 .. 227,514,171,973,736 2,207,893,435,808,352 22,317,699,616,364,044

연관 문제편집

  • 다른 기물 사용

32개의 나이트, 14개의 비숍, 8개의 룩, 16개의 킹이 필요하다.

  • 다른 판 모양

토러스형이나 원통형 조건에 대해 생각할 수 있다. 토러스에서는 폴리아의 연구에 의해 n이 6과 서로소일때 nxn정사각형판에 n개의 퀸을 채울 수 있다.


풀이 프로그램편집

아래는 재귀적으로 해를 구성하는 C++ 코드이다.

#include <iostream>
#include <cmath>

#define MAX_SIZE 8
// 최대 MAX_SIZE queen 문제까지 해결할 수 있다.

using namespace std;

int board[MAX_SIZE];
// board[i]는 i번째 행에 퀸이 몇번째 열에 있는지 의미하는 변수이다. (행열은 서로 바뀌어도 된다.)
// 즉 board[0] = 3일때, (1,4) 혹은 (4,1) 위치에 퀸이 있다는 뜻이다.
int n;
int cnt;

void path(int y) {
	// y는 현재 몇개의 퀸이 배치되었는지를 의미하는 변수다.
	int ko;
	if( y == n ) {
		// n개의 퀸이 배치가 되었다면 이 경우는 답이다.
		cnt++;
		return;
	}
	for( int i=0; i<n; i++ ) {
		// ko는 퀸이 배치될 수 있는지를 저장하는 플래그다.
		ko = 1;
		for( int j=0; j<y; j++ ) {
			// 이미 배치가 끝난 퀸을 참고해서 i번째 칸에 퀸을 설치할 수 있는지를 확인한다.
			if( board[j] == i || abs(y-j) == abs(i-board[j]) ) {
				// j번째 줄에 있는 퀸과 같은 칸에 있거나, 대각선에 같은 곳에 있다면, i번째 칸에 대한 탐색을 중단한다.
				ko = 0;
				break;
			}
		}
		if( ko ) {
			// 여기까지 왔다면 y번째 줄에 i번째 칸에 퀸을 놔두는 것이 가능하다.
			board[y] = i;
			path(y+1);
		}
	}
}

int main() {
	int k;
	cin >> k;

	while( k-- ) {
		cin >> n;
		cnt = 0;
		path(0);

		cout << cnt << '\n';
	}

	return 0;
}

아래 애니메이션을 보면 재귀적으로 해를 탐색하는 과정을 알 수 있다.