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수학에서, D가군(영어: D-module)은 미분 연산자들의 환에 대한 가군층이다. 선형 편미분 방정식의 추상화이며, 또한 평탄한 코쥘 접속을 갖춘 벡터 다발의 일반화이다.

정의편집

 표수 0  에 대한 비특이 대수다양체라고 하고,   위의 정칙함수들의  라고 하자. 또한,   위의 (대수적) 벡터장들로 생성되는  -가군층  를 생각하자. 이는 미분 연산자들로 간주할 수 있다.

  위의 D가군  은 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

  •  -가군층  
  •  -선형사상  ,  

이는 다음과 같은 공리를 만족시켜야 한다. 모든  의 단면  ,  의 단면  ,   위의 벡터장  에 대하여,

  • ( -선형성)  
  • (곱의 법칙)  
  • (리 괄호에 대한 준동형)  

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국소 자유 가군층벡터 다발로 여길 수 있으며, 국소 자유 가군층인 D가군은 단순히 평탄한 코쥘 접속이 주어진 벡터 다발이다.

  자체는 자명하게 D가군을 이룬다.

복소 아핀 공간   위의 함수 공간  가 다음 성질들을 만족시킨다면,  는 D가군을 이룬다.

  •  는 덧셈 및 곱셈에 대하여 닫혀 있다.
  •  . 즉,  는 모든 다항함수를 포함한다.
  •  는 미분에 대하여 닫혀 있다.

선형 편미분 방정식에 대응하는 D가군편집

  위의 선형 미분 연산자

 

로 정의되는 선형 편미분 방정식

 

을 생각해 보자. 그렇다면, 이 편미분 방정식에 대응되는 D가군은  로 생성되는  아이디얼  에 대한 몫환

 

이다. 이 경우, D가군을 이루는 어떤 함수 공간   속에서,

 

의 해들의 공간은

 

과 같다.

외부 링크편집