D가군

수학에서 D가군(영어: D-module)은 미분 연산자들의 환에 대한 가군층이다. 선형 편미분 방정식의 추상화이며, 또한 평탄한 코쥘 접속을 갖춘 벡터 다발의 일반화이다.

정의

$X$가 표수 0인 체 $k$에 대한 비특이 대수다양체라고 하고, $X$ 위의 정칙함수들의 층을 ${\mathcal {O}}_{X}$라고 하자. 또한, $X$ 위의 (대수적) 벡터장들로 생성되는 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층 ${\mathcal {D}}_{X}$를 생각하자. 이는 미분 연산자들로 간주할 수 있다.

$X$ 위의 D가군 $({\mathcal {M}},\nabla )$은 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

• ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층 ${\mathcal {M}}$
• $k$-선형사상 $\nabla \colon {\mathcal {D}}_{X}\to \operatorname {End} (M)$, $v\mapsto \nabla _{v}$

이는 다음과 같은 공리를 만족시켜야 한다. 모든 ${\mathcal {O}}_{X}$의 단면 $f$, ${\mathcal {M}}$의 단면 $m$, $X$ 위의 벡터장 $u,v$에 대하여,

• (${\mathcal {O}}_{X}$-선형성) $\nabla _{fv}m=f(\nabla _{v}m)$
• (곱 규칙) $\nabla _{v}(fm)=(\nabla _{v}f)m+f\nabla _{v}m$
• (리 괄호에 대한 준동형) $\nabla _{[u,v]}=[\nabla _{v},\nabla _{v}]$

예

국소 자유 가군층은 벡터 다발로 여길 수 있으며, 국소 자유 가군층인 D가군은 단순히 평탄한 코쥘 접속이 주어진 벡터 다발이다.

${\mathcal {D}}_{X}$ 자체는 자명하게 D가군을 이룬다.

복소 아핀 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ 위의 함수 공간 $F$가 다음 성질들을 만족시킨다면, $F$는 D가군을 이룬다.

• $F$는 덧셈 및 곱셈에 대하여 닫혀 있다.
• $\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\subset F$. 즉, $F$는 모든 다항함수를 포함한다.
• $F$는 미분에 대하여 닫혀 있다.

선형 편미분 방정식에 대응하는 D가군

$\mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\dots ,z_{n})\}$ 위의 선형 미분 연산자

$D=\sum _{\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}}C_{\alpha ,\beta }z^{\alpha }\partial _{\beta }$

로 정의되는 선형 편미분 방정식

$Df=0$

을 생각해 보자. 그렇다면, 이 편미분 방정식에 대응되는 D가군은 $D$로 생성되는 ${\mathcal {D}}_{\mathbb {C} ^{n}}$의 아이디얼 $(D)$에 대한 몫환

${\mathcal {D}}_{\mathbb {C} ^{n}}/(D)$

이다. 이 경우, D가군을 이루는 어떤 함수 공간 $F$ 속에서,

$Df=0\qquad (f\in F)$

의 해들의 공간은

$\hom _{{\mathcal {D}}_{\mathbb {C} ^{n}}}({\mathcal {D}}_{\mathbb {C} ^{n}}/(D),F)$

과 같다.

외부 링크

• “D-module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “D-module”. 《nLab》 (영어). 2014년 12월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 12월 5일에 확인함.