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르베그 공간

(Lp 공간에서 넘어옴)

정의편집

측도 공간   및 음이 아닌 확장된 실수  가 주어졌다고 하고,  가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간   -위상 벡터 공간이며, 그 정의는  의 값에 따라 다음과 같다.

Lp (0 < p ≤ ∞)편집

 가측 함수  에 대하여 다음 기호를 정의하자.

 
 

그렇다면,  를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

 

여기서  는 두 측도 공간   사이의 가측 함수의 집합이며,  의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.

  에 대한 벡터 공간을 이루며,  

 

으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간  라 한다.[1]:43, §II.2[2]:31, §1.43; 35, §1.47

 

이 위에는 "열린 공"들

 
 

기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론,  이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)

만약  이라면,    위의 완비 노름을 이루며,   -바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약  이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.

L0편집

 인 경우,  은 모든 가측 함수  의 (동치류의) 공간이다. 즉,  -벡터 공간  

 

를 정의하였을 때

 

이다.

이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족

 
 

을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.

p편집

만약  가 (셈측도를 갖춘) 자연수이산 공간  일 경우,

 

로 쓴다. (셈측도공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우   를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수   값을 갖는 수열이 되고, 노름  은 다음과 같다.

 

성질편집

민코프스키 부등식편집

만약  일 경우,  민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다.

 

만약  일 경우,  는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.[3]:816

 

증명:

임의의 두 음이 아닌 실수  에 대하여

 

가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,

 

이다.

바나흐·힐베르트 공간일 조건편집

임의의 측도 공간    에 대하여, 다음이 성립한다.

  • (리스-피셔 정리 영어: Riesz–Fischer theorem) 만약  라면   -바나흐 공간이다.
  • 만약  라면   -반사 바나흐 공간이다. (그러나   또는  인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
  • 만약  일 경우   -힐베르트 공간이다. (그러나  의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
  • 만약  이며  일 경우  는 가환 C* 대수이다. 만약  가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.

연속 쌍대 공간편집

임의의 측도 공간    에 대하여,  연속 쌍대 공간은 다음과 같다.

 

구체적으로, 이 동형 사상은   에 대하여

 
 

이다. 특히,  일 경우  는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

그러나  의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로  보다 훨씬 크다. 반면, 만약  시그마 유한 측도를 갖추었다면,  이다.

포함 관계편집

임의의 두 확장된 실수

 

가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간   위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.

 
 

그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.[4]

 
 
㈎와 ㈏가 동시에 성립  

대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.

측도 공간
유클리드 공간   위의 르베그 측도 ( )
유한 집합 위의 셈측도
무한 집합 위의 셈측도
유클리드 공간 속의, 양의 유한 측도의 르베그 가측 집합

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유한 집합편집

 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의  에 대하여

 

이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은   위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은  집합의 크기이다.

 의 값에 따라,   위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.

 
 

만약  일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며,  이자  일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.

수열 공간편집

 일 경우,  의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간   공간의 성질은 다음과 같다.

 의 범위  의 성질
   -위상 벡터 공간 ( -국소 볼록 공간이 아님)
   -바나흐 공간
  분해 가능  -힐베르트 공간
   -바나흐 공간

디랙 측도편집

집합   속의 원소  가 주어졌으며,

 

라고 하자. 그렇다면,  에 대하여,  는 다음과 같다.

 
 

역사편집

"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

  공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).[5]:V.83, Note historique 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.[5]:V.84, Note historique 힐베르트의 이론을  로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.[6]:§3, 457–459[5]:V.86, Note historique 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호  를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성   ( )을 증명하였다.

참고 문헌편집

  1. Schaefer, Helmuth H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological vector spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. 
  2. Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. 
  3. Day, Mahlon M. (1940). “The spaces Lp with 0<p<1”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (10): 816–823. ISSN 0273-0979. MR 2700. doi:10.1090/S0002-9904-1940-07308-2. 
  4. Villani, Alfonso (1985). “Another note on the inclusion Lp(μ) ⊂ Lq(μ)”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 92 (7): 485–487. JSTOR 2322503. MR 801221. doi:10.2307/2322503. 
  5. Bourbaki, Nicolas (1981). 《Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)》. Éléments de mathématique (프랑스어). Masson. 
  6. Riesz, Frigyes (1910). “Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 69 (4): 449–497. ISSN 0025-5831. doi:10.1007/BF01457637. 

같이 보기편집

외부 링크편집