T-이중성

서로 다른 두 시공간 위의 끈 이론이 서로 같은 현상
T-이중성과 S-이중성은 서로 다른 것처럼 보이는 초끈 이론들을 서로 연관짓는다. T-이중성에 따라, ⅡA형과 ⅡB형 초끈 이론이 서로 동형이고, E8×E8 잡종 끈 이론과 SO(32) 잡종 끈 이론이 서로 동형이다.

끈 이론에서, T-이중성(T-二重性, 영어: T-duality) 또는 과녁 공간 이중성(영어: target space duality)은 서로 다른 두 시공간 (과녁 공간) 위의 끈 이론이 서로 같은 현상이다.[1][2][3]:187–248[4]:232–281 대략, 끈의 길이보다 아주 작은 차원은 끈의 길이보다 아주 큰 차원과 동등하다. 따라서, 끈 이론에서의 시공간은 점입자 이론에서의 시공간과 근본적으로 다르고, 매우 짧은 길이와 매우 긴 길이에 대한 차이가 사라진다.

정의편집

원기둥축소화닫힌 보손 끈을 생각하자. 축소 차원의 크기가  이라고 하자. 그렇다면 축소 차원에서의 운동량 의 단위로 양자화된다.

 ,  

끈은 또한 축소 차원에 따라 (점입자와 달리) 감길 수 있다. 닫힌 끈의 경우, 축소 차원에 따라 감긴 수를 감음수(winding number)  라고 부른다.

 
닫힌 끈의 감음수. 시계 방향으로 감기면 음수, 시계 반대 방향으로 감기면 양수로 친다.

그렇다면 끈의 질량은 다음과 같다.

 

여기서  은 끈의 총 진동 모드의 수다. ( 로 놓자.) 따라서

 

와 같이 바꾸면 끈의 질량 스펙트럼이 같은 것을 알 수 있다. 또한 마찬가지로 끈의 상호 작용도 같다는 사실을 보일 수 있다.

 
끈 이론에서는 T-이중성으로 인하여 매우 작은 차원이 매우 큰 차원과 동등하다. 이는 이론의 질량 스펙트럼으로 확인할 수 있다.

열린 끈과 D-막의 T-이중성편집

열린 끈의 경우, 노이만 경계 조건디리클레 경계 조건에 대응됨을 알 수 있다. 따라서 이론에 디리클레 경계조건과 D-막을 포함하여야 한다. 이에 따라, D -막은 (축소화하는 방향에 따라서) D -막 또는 D -막에 대응된다.

등각 장론의 관점편집

T-이중성은 2차원 등각 장론의 관점에서 이미 등장한다. 가장 간단하게, 스칼라장

 

을 생각하자. 그렇다면, 그 분배 함수는 다음과 같은 꼴이다.[5]:124, (4.19)

 

여기서

 
 

이며,  데데킨트 에타 함수이다. 그렇다면, 푸아송 재합 공식(영어: Poisson resummation formula)을 통하여

 

임을 보일 수 있다.[5]:125, §4.2 물리학적으로, 처음 두 등식은 모듈러 군의 작용이며, 마지막 등식은 끈의 T-이중성을 나타낸다.

여러 차원의 축소화편집

여러 개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 더 커진다.[3]:265–286[4]:246–255  개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은  이다. 이 군은 다음 성질을 만족하는   정사각행렬  들의 군이다.

  •  유니모듈라 행렬(영어: unimodular matrix)이다. 즉,  의 모든 성분은 정수이며,  이 존재하고,  의 모든 성분도 정수이다.
  •  계량 부호수 계량 텐서에 대한 직교행렬이다. 즉,   (   단위행렬,    영행렬)이면,  이다.

초끈 이론에서의 T-이중성편집

초끈 이론에서는 T-이중성은 ⅡA와 ⅡB종 이론, HE와 HO 이론을 각각 서로 연관짓는다. 즉, 축소화의 관계는 다음과 같다.

 

Ⅰ종 끈 이론은 T-이중성 변환을 하면 D-막에 의하여 (10차원) 푸앵카레 대칭이 깨지게 된다. 이 이론을 Ⅰ′종 이론(Type Ⅰ′) 또는 ⅠA종 이론(Type IA)이라고 한다.[3]:224–226[6] 이 이론은 ⅡA종 끈 이론에 오리엔티폴드 사영을 가한 것으로 볼 수 있다. ⅡA종 끈 이론에서는 오른쪽 및 왼쪽 모드가 서로 반대 손지기(chirality)를 가지므로, 사영을 하려면 의 반전  와 축소 차원에 대한 반사를 합성한 연산에 대하여 사영하여야 한다. 이에 따라 I′종 이론은 두 개의 O8-평면을 가지고, 또한 T-이중성에 따라서 32개의 D8-막을 가진다.

T-이중성 아래, NS-NS 배경장  은 다음과 같은 부셔 규칙(영어: Buscher rule)을 통해 변환한다.[2]:(1.0.2)

 
 
 
 
 
 

여기서

  • 1은 T-이중성을 취하는 방향의 좌표의 지표이며,  는 다른 방향의 좌표의 지표이다.
  •  중력장이다.
  •  캘브-라몽 장이다.
  •  딜라톤이다.

위상 T-이중성편집

보다 일반적으로, T-이중성은 원과의 곱공간 대신 원을 올로 하는 올다발에 대하여 적용될 수 있다. 이 경우 T-이중성은 서로 위상 동형이지 않을 수 있는 올다발 사이의 쌍대성을 정의한다.

초중력의 T-이중성편집

초끈 이론의 저에너지 극한은 초중력이다. ⅡA 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡA 초중력이고, ⅡB 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡB 초중력이다. 이 경우, T-이중성에 의하여 10차원 ⅡA 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 9차원   초중력과 ⅡB 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는   초중력은 서로 같다. 즉, 비축소화 ⅡA와 ⅡB 이론들은 하나의 축소화 초중력 모듈러스 공간의 경계에 위치해 있다.

그 자세한 대응성은 다음과 같다. 10차원 ⅡA 초중력의 보손 장과 10차원 중 한 차원을 축소화하여 얻는 9차원 장들은 다음과 같다.

ⅡA 10차원 장 축소화 뒤 9차원 장들
중력장 중력장, 벡터장, 스칼라장
캘브-라몽 2차 형식 2차 형식, 벡터장
딜라톤 스칼라장
라몽-라몽 1차 형식 벡터장, 스칼라장
라몽-라몽 3차 형식 3차 형식, 2차 형식
합계 중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)

ⅡB 초중력의 보손 장과 이를 축소화하여 얻는 장들은 다음과 같다.

ⅡB 10차원 장 축소화 뒤 9차원 장들
중력장 중력장, 벡터장, 스칼라장
캘브-라몽 2차 형식 2차 형식, 벡터장
딜라톤 스칼라장
라몽-라몽 0차 형식 스칼라장
라몽-라몽 2차 형식 2차 형식, 벡터장
라몽-라몽 4차 형식 3차 형식
합계 중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)

(ⅡB 라몽-라몽 4차 형식의 장세기는 자기 쌍대(영어: self-dual)이므로, 축소화하면 4차 형식을 남기지 않는다.)

따라서 9차원으로 축소화하면 9차원 보손 장들의 종류와 개수가 같아지는 것을 알 수 있다.

역사편집

오사카 대학의 깃카와 게이지(일본어: 吉川 圭二 (きっかわ けいじ))와 야마사키 마사미(일본어: 山崎 眞見 (やまさき まさみ))가 1984년에[7], 도쿄 공업대학의 사카이 노리스케(일본어: 坂井 典佑 (さかい のりすけ))와 센다 이쿠오(일본어: 仙田 郁夫 (せんだ いくお))가 1986년에[8] 초기적인 형태로 도입하였다. 토머스 헨리 부셔(영어: Thomas Henry Buscher)[9][10][11] 와 마르틴 로체크(체코어: Martin Roček), 에리크 페터르 페를린더(네덜란드어: Erik Peter Verlinde)[12] 가 이를 개량하고 확장하였다.

오늘날에는 이와 같은 가환(Abelian) T-이중성 말고도, 이를 일반화한 비가환 T-이중성[13]과 페르미온 T-이중성[14][15]이 알려져 있다. 또한, 거울 대칭도 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.[16]

참고 문헌편집

  1. Giveona, Amit; Massimo Porratib, Eliezer Rabinovici (1994년 8월). “Target space duality in string theory”. 《Physics Reports》 244 (2–3): 77–202. arXiv:hep-th/9401139. Bibcode:1994PhR...244...77G. doi:10.1016/0370-1573(94)90070-1. 
  2. Álvarez, Enrique; Álvarez-Gaumé, Luis; Lozano, Yolanda (1995년 4월). “An introduction to T-duality in string theory”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 (영어) 31 (1–3): 1–20. arXiv:hep-th/9410237. Bibcode:1995NuPhS..41....1A. doi:10.1016/0920-5632(95)00429-D. 
  3. Becker, Katrin; Becker, Melanie; Schwarz, John Henry (2006년 12월). 《String Theory and M-Theory: A Modern Introduction》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.2277/0511254865. ISBN 978-0511254864. 
  4. Polchinski, Joseph (1998). 《String Theory, Volume 1: An introduction to the bosonic string》. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521633036. ISBN 978-0521633031. 
  5. Blumenhagen, Ralph; Plauschinn, Erik (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》 (영어). Springer-Verlag. Bibcode:2009LNP...779.....B. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0. MR 2848105. 
  6. Schwarz, John (2010년 7월). 〈Some properties of Type Ⅰ′ string theory〉. 《The many faces of the superworld: Yuri Golfand memorial volume》 (영어). Singapore: World Scientific. 388–397쪽. arXiv:hep-th/9907061. Bibcode:1999hep.th....7061S. doi:10.1142/9789812793850_0023. ISBN 978-981-02-4206-0. 
  7. Kikkawa, Keiji; Yamasaki, Masami (1984년 12월 20일). “Casimir effects in superstring theories”. 《Physics Letters B》 (영어) 149 (4–5): 357–360. Bibcode:1984PhLB..149..357K. doi:10.1016/0370-2693(84)90423-4. 
  8. Sakai, Norisuke; Senda, Ikuo (1986). “Vacuum energies of string compactified on torus”. 《Progress of Theoretical Physics》 (영어) 75 (3): 692–705. Bibcode:1986PThPh..75..692S. doi:10.1143/PTP.75.692. 
  9. Buscher, Thomas Henry (1985년 9월 19일). “Quantum corrections and extended supersymmetry in new σ-models”. 《Physics Letters B》 159 (2–3): 127-130. Bibcode:1985PhLB..159..127B. doi:10.1016/0370-2693(85)90870-6. 
  10. Buscher, T.H. (1987년 7월 30일). “A symmetry of the string background field equations”. 《Physics Letters B》 194 (1): 59-62. Bibcode:1987PhLB..194...59B. doi:10.1016/0370-2693(87)90769-6. 
  11. Buscher, T.H. (1988년 2월 18일). “Path-integral derivation of quantum duality in nonlinear sigma-models”. 《Physics Letters B》 201 (4): 466–472. Bibcode:1988PhLB..201..466B. doi:10.1016/0370-2693(88)90602-8. 
  12. Roček, Martin; Verlinde, Erik Peter (1992년 4월 13일). “Duality, quotients and currents”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 373 (3): 630-646. arXiv:hep-th/9110053. Bibcode:1992NuPhB.373..630R. doi:10.1016/0550-3213(92)90269-H. 
  13. Sfetsos, Konstadinos (2011년 11월). “Recent developments in non-Abelian T-duality in string theory”. 《Fortschrifte der Physik》 59 (11–12): 1149–1153. arXiv:1105.0537. Bibcode:2011ForPh..59.1149S. doi:10.1002/prop.201100063. 
  14. Berkovits, Nathan; Juan Maldacena (2008년 9월 11일). “Dual superconformal symmetry, and the amplitude/Wilson loop connection”. 《Journal of High Energy Physics》 2008 (9): 62. arXiv:0807.3196. Bibcode:2008JHEP...09..062B. doi:10.1088/1126-6708/2008/09/062. 
  15. Ó Colgáin, Eoin (2012년 11월 20일). “Fermionic T-duality: a snapshot review”. 《International Journal of Modern Physics A: Particles and fields, gravitation, cosmology》 (영어) 27 (29): 1230032. arXiv:1210.5588. Bibcode:2012IJMPA..2730032O. doi:10.1142/S0217751X12300323. 
  16. Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996년 11월 11일). “Mirror symmetry is T-duality”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 479 (1–2): 243–259. arXiv:hep-th/9606040. Bibcode:1996NuPhB.479..243S. doi:10.1016/0550-3213(96)00434-8. 

외부 링크편집