필터와 측도
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음이 아닌 확장된 실수 의 집합
S
⊆
[
0
,
∞
]
{\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]}
에 대하여, 다음을 정의하자.[1] :129, (10.10)
∑
S
=
sup
S
′
⊆
S
|
S
′
|
<
ℵ
0
∑
S
′
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \sum S=\sup _{\scriptstyle S'\subseteq S \atop \scriptstyle |S'|<\aleph _{0}}\sum S'\in [0,\infty ]}
임의의 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
와
κ
{\displaystyle \kappa }
-완비 불 대수
B
{\displaystyle B}
및
S
⊆
[
0
,
∞
]
{\displaystyle S\subseteq [0,\infty ]}
에 대하여, 함수
μ
:
B
→
S
{\displaystyle \mu \colon B\to S}
가 다음 조건들을 모두 만족시키면,
μ
{\displaystyle \mu }
가
M
e
a
s
(
κ
;
B
,
S
)
{\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;B,S)}
조건을 만족시킨다고 하자.
μ
(
⊥
)
=
0
{\displaystyle \mu (\bot )=0}
이다.
(단조성)
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
라면
μ
(
a
)
≤
μ
(
b
)
{\displaystyle \mu (a)\leq \mu (b)}
이다.
(
κ
{\displaystyle \kappa }
-가법성) 임의의
S
⊆
B
{\displaystyle S\subseteq B}
에 대하여, 만약
|
S
|
<
κ
{\displaystyle |S|<\kappa }
이며 임의의
s
,
t
∈
S
{\displaystyle s,t\in S}
에 대하여
s
∧
t
=
⊥
B
{\displaystyle s\land t=\bot _{B}}
라면,
μ
(
⋁
S
)
=
∑
μ
[
S
]
{\displaystyle \textstyle \mu \left(\bigvee S\right)=\sum \mu [S]}
이다.
이 조건을 만족시키는 함수
μ
{\displaystyle \mu }
를
B
{\displaystyle B}
위의,
S
{\displaystyle S}
값의
κ
{\displaystyle \kappa }
-가법 측도 (영어 :
S
{\displaystyle S}
-valued
κ
{\displaystyle \kappa }
-additive measure on
B
{\displaystyle B}
)라고 하자.
이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.
측도 : 시그마 대수
Σ
{\displaystyle \Sigma }
위의 측도
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}
는
M
e
a
s
(
ℵ
1
;
Σ
,
[
0
,
∞
]
)
{\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\aleph _{1};\Sigma ,[0,\infty ])}
를 만족시키는 함수 이다.
극대 필터 :
B
{\displaystyle B}
위의 극대 필터
U
⊆
B
{\displaystyle U\subseteq B}
에 대하여, 함수
μ
:
B
→
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mu \colon B\to \{0,1\}}
,
μ
:
b
↦
{
1
b
∈
U
0
b
∉
U
{\displaystyle \textstyle \mu \colon b\mapsto {\begin{cases}1&b\in U\\0&b\not \in U\end{cases}}}
를 정의하면,
μ
{\displaystyle \mu }
는
M
e
a
s
(
ℵ
0
;
B
,
{
0
,
1
}
)
{\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\aleph _{0};B,\{0,1\})}
를 만족시킨다.
가측 기수
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기수
κ
{\displaystyle \kappa }
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 기수를 가측 기수 라고 한다.
크기가
κ
{\displaystyle \kappa }
인 집합 위에, 주 필터 가 아닌
κ
{\displaystyle \kappa }
-완비 극대 필터 가 존재한다.[1] :127, Definition 10.3 [2] :26, §1.2
멱집합
Pow
(
κ
)
{\displaystyle \operatorname {Pow} (\kappa )}
위에,
M
e
a
s
(
κ
;
Pow
(
κ
)
,
{
0
,
1
}
)
{\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;\operatorname {Pow} (\kappa ),\{0,1\})}
를 만족시키는 함수
μ
:
Pow
(
κ
)
→
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to \{0,1\}}
가 존재하며, 또한 임의의
α
∈
κ
{\displaystyle \alpha \in \kappa }
에 대하여
μ
(
{
α
}
)
=
0
{\displaystyle \mu (\{\alpha \})=0}
이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
κ
{\displaystyle \kappa }
는 폰 노이만 전체
V
{\displaystyle V}
로부터 ZFC의 표준 추이적 모형
M
{\displaystyle M}
으로 가는 기본 매장 의 임계점 이다.
임의의 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
에 대하여, 만약
M
e
a
s
(
κ
;
Pow
(
κ
)
,
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle {\mathsf {Meas}}(\kappa ;\operatorname {Pow} (\kappa ),[0,1])}
를 만족시키는 확률 측도
μ
:
Pow
(
κ
)
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to [0,1]}
가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.
만약
μ
{\displaystyle \mu }
가 한원소 집합 을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의
a
∈
κ
{\displaystyle a\in \kappa }
에 대하여
μ
(
{
a
}
)
=
0
{\displaystyle \mu (\{a\})=0}
이다.)
그렇다면
κ
{\displaystyle \kappa }
를 실가 가측 기수 (實價可測基數, 영어 : real-valued measurable cardinal )라고 한다.[1] :130, Definition 10.8 [2] :24, §2.1
함의 관계
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선택 공리 를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수 이며 또한 약콤팩트 기수 이다.[1] :Lemma 10.18 (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수 는 가측 기수이다.[1] :136, §10 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수
모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는
2
ℵ
0
{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}
이하이다.[1] :131, Corollary 10.10
논리적 성질
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가측 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
에 대하여,
V
κ
{\displaystyle V_{\kappa }}
(크기가
κ
{\displaystyle \kappa }
미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체 의 부분 집합)는 선택 공리 를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 (ZFC)의 모형 이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한,
V
κ
{\displaystyle V_{\kappa }}
에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적 이다.
만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리
V
=
L
{\displaystyle V=L}
은 거짓이다.[3]
울람 행렬
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임의의 두 기수
κ
,
λ
{\displaystyle \kappa ,\lambda }
가 주어졌다고 하자.
(
λ
,
κ
)
{\displaystyle (\lambda ,\kappa )}
-울람 행렬 은 다음 두 성질을 만족시키는 함수
A
:
λ
×
κ
→
Pow
(
λ
)
{\displaystyle A\colon \lambda \times \kappa \to \operatorname {Pow} (\lambda )}
A
:
(
α
,
β
)
↦
A
α
,
β
{\displaystyle A\colon (\alpha ,\beta )\mapsto A_{\alpha ,\beta }}
이다.[1] :131, Definition 10.11; 132, (10.14)
각 열의 성분들은 서로소 이다. 즉, 만약
α
≠
α
′
{\displaystyle \alpha \neq \alpha '}
라면, 임의의
β
<
λ
{\displaystyle \beta <\lambda }
에 대하여
A
α
,
β
∩
A
α
′
,
β
=
∅
{\displaystyle A_{\alpha ,\beta }\cap A_{\alpha ',\beta }=\varnothing }
각 행의 성분들의 합집합 의 여집합 의 크기는
κ
{\displaystyle \kappa }
이하이다. 즉, 임의의
α
<
λ
{\displaystyle \alpha <\lambda }
에 대하여,
|
λ
∖
⋃
β
<
λ
A
α
,
β
|
<
κ
{\displaystyle \textstyle |\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\lambda }A_{\alpha ,\beta }|<\kappa }
이다.
만약
(
κ
,
λ
)
{\displaystyle (\kappa ,\lambda )}
가 주어지지 않았다면,
(
κ
,
λ
)
=
(
ℵ
1
,
ℵ
0
)
{\displaystyle (\kappa ,\lambda )=(\aleph _{1},\aleph _{0})}
을 뜻한다.
임의의 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
에 대하여,
(
κ
+
,
κ
)
{\displaystyle (\kappa ^{+},\kappa )}
-울람 행렬이 존재한다.
증명:
각
ξ
∈
κ
+
{\displaystyle \xi \in \kappa ^{+}}
에 대하여, 전사 함수
f
ξ
:
κ
→
ξ
{\displaystyle f_{\xi }\colon \kappa \to \xi }
를 고르자. 그렇다면, 행렬
A
α
,
β
{\displaystyle A_{\alpha ,\beta }}
를 다음과 같이 정의하자.
ξ
∈
A
α
,
β
⟺
f
ξ
(
β
)
=
α
{\displaystyle \xi \in A_{\alpha ,\beta }\iff f_{\xi }(\beta )=\alpha }
그렇다면,
A
{\displaystyle A}
는
(
κ
+
,
κ
)
{\displaystyle (\kappa ^{+},\kappa )}
-울람 행렬을 이룬다.
임의의
ξ
∈
κ
+
{\displaystyle \xi \in \kappa ^{+}}
및
β
∈
κ
{\displaystyle \beta \in \kappa }
에 대하여,
ξ
∈
A
α
,
β
{\displaystyle \xi \in A_{\alpha ,\beta }}
가 되는 유일한
α
{\displaystyle \alpha }
는
α
=
f
ξ
(
β
)
{\displaystyle \alpha =f_{\xi }(\beta )}
이다.
각
α
∈
κ
+
{\displaystyle \alpha \in \kappa ^{+}}
에 대하여,
κ
∖
⋃
β
<
κ
A
α
,
β
=
κ
∖
{
ξ
∈
κ
+
:
α
<
ξ
}
=
min
{
α
,
κ
}
{\displaystyle \textstyle \kappa \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }=\kappa \setminus \{\xi \in \kappa ^{+}\colon \alpha <\xi \}=\min\{\alpha ,\kappa \}}
이다.
측도와의 관계
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측도
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}
의 원자 (영어 : atom )는
μ
(
S
)
>
0
{\displaystyle \mu (S)>0}
이지만 임의의
S
′
<
S
{\displaystyle S'<S}
에 대하여
μ
(
S
′
)
=
0
{\displaystyle \mu (S')=0}
이 되는 원소
S
∈
Σ
{\displaystyle S\in \Sigma }
이다.
임의의 기수
λ
>
κ
≥
ℵ
0
{\displaystyle \lambda >\kappa \geq \aleph _{0}}
가 주어졌다고 하자.
(
λ
,
κ
)
{\displaystyle (\lambda ,\kappa )}
-울람 행렬이 존재한다면,
Pow
(
λ
)
{\displaystyle \operatorname {Pow} (\lambda )}
위의 임의의
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
-가법 확률 측도
Pr
{\displaystyle \Pr }
는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,
Pr
(
{
α
}
)
>
0
{\displaystyle \Pr(\{\alpha \})>0}
인
α
∈
λ
{\displaystyle \alpha \in \lambda }
가 존재한다.
증명:
A
{\displaystyle A}
가 울람 행렬이라고 하고,
Pr
{\displaystyle \Pr }
가
Pow
(
λ
)
{\displaystyle \operatorname {Pow} (\lambda )}
위의
κ
+
{\displaystyle \kappa ^{+}}
-가법 확률 측도 라고 하자. 귀류법 을 사용하여, 임의의
α
∈
λ
{\displaystyle \alpha \in \lambda }
에 대하여
Pr
(
{
α
}
)
=
0
{\displaystyle \Pr(\{\alpha \})=0}
라고 하자.
그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각
α
<
λ
{\displaystyle \alpha <\lambda }
에 대하여,
Pr
(
λ
∖
⋃
β
<
κ
A
α
,
β
)
=
0
{\displaystyle \Pr \left(\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }\right)=0}
Pr
(
⋃
β
<
κ
A
α
,
β
)
=
1
{\displaystyle \Pr \left(\bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }\right)=1}
이다. 따라서,
Pr
(
A
α
,
f
(
α
)
)
>
0
{\displaystyle \Pr(A_{\alpha ,f(\alpha )})>0}
인
f
(
α
)
<
κ
{\displaystyle f(\alpha )<\kappa }
가 존재한다. 이제, 각
β
∈
κ
{\displaystyle \beta \in \kappa }
에 대하여
f
−
1
(
β
)
=
{
α
∈
λ
:
f
(
α
)
=
β
}
{\displaystyle f^{-1}(\beta )=\{\alpha \in \lambda \colon f(\alpha )=\beta \}}
를 생각하자.
λ
>
κ
≥
ℵ
0
{\displaystyle \lambda >\kappa \geq \aleph _{0}}
이므로,
f
−
1
(
β
0
)
=
λ
{\displaystyle f^{-1}(\beta _{0})=\lambda }
인
β
0
∈
κ
{\displaystyle \beta _{0}\in \kappa }
가 존재한다.
이제,
U
=
(
A
α
,
β
0
)
α
∈
f
−
1
(
β
0
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}=(A_{\alpha ,\beta _{0}})_{\alpha \in f^{-1}(\beta _{0})}}
는
λ
{\displaystyle \lambda }
개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자.
∀
m
<
ω
:
U
m
=
{
U
∈
U
:
Pr
(
U
)
>
1
/
(
m
+
1
)
}
{\displaystyle \forall m<\omega \colon {\mathcal {U}}_{m}=\{U\in {\mathcal {U}}\colon \Pr(U)>1/(m+1)\}}
그렇다면,
⋃
m
<
ω
U
m
=
U
{\displaystyle \bigcup _{m<\omega }{\mathcal {U}}_{m}={\mathcal {U}}}
이므로, 이 가운데
|
U
m
0
|
=
λ
{\displaystyle |{\mathcal {U}}_{m_{0}}|=\lambda }
인
m
0
∈
ω
{\displaystyle m_{0}\in \omega }
가 존재한다. 따라서,
Pr
(
⋃
U
m
)
=
∞
{\displaystyle \Pr \left(\bigcup {\mathcal {U}}_{m}\right)=\infty }
인데, 이는 확률 측도 조건과 모순이다.
특히,
Pow
(
ω
1
)
{\displaystyle \operatorname {Pow} (\omega _{1})}
위의 임의의 (
σ
{\displaystyle \sigma }
-가법) 확률 측도 는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설 이 성립한다면, 실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
위에, 모든 집합이 가측 집합 이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.[1] :133, Corollary 10.17
참고 문헌
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외부 링크
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